Таблица 24
Итерации х
1
х
2
х
3
max |x
i
к+1
- x
i
к
|
0 0,25 0,5 0,75
1 -0,125 0,583 0,75 0,13
2 -0,217 0,583 0,575 0,18
3 -0,308 0,632 0,559 0,09
Таким образом, для получения решения с заданной точностью
ε=0,1
потребовались три итерации; х
1
=х
1
(3)
= -0,308, х
2
= х
2
(3)
= 0,632, х
3
= х
3
(3)
=
0,559.
Для повышения быстродействия решения кроме метода простых итераций
используется метод Гаусса-Зейделя.
Метод Зейделя
В этом методе при вычислении (к+1)-го приближения неизвестного х
i
используется уже рассчитанные на текущей итерации (к+1)-е приближение
неизвестных х
1
, x
2
, ., x
i
и к-е приближения неизвестных х
i
, x
i+1
,...,x
n
. Расчетная
формула Зeйделя имеет вид
х
i
(к+1)
= d
i
+ c
j
i
=
−
∑
1
1
ij
x
j
(к+1)
+ c
ji
n
=
∑
ij
х
j
(k)
, i=1,2,…,n. (31)
Метод Зейделя в большинстве случаев дает более быструю сходимость, чем
метод простых итераций.
Пример
.
Методом простых итераций и методом Зейделя с точностью
ε=0,003 решить
систему
5x
1
- 4x
2
- x
3
= -2,
4x
1
+ x
2
- 2x
3
= 8,
3x
1
+ x
2
- 5x
3
= 10.
Система в исходном виде не может быть решена методом простых итераций,
ибо простой перестановкой уравнений нельзя получить систему, в которой по
диагонали стояли бы максимальные значения коэффициентов (здесь нет ни
одного уравнения , в котором коэффициент при х
2
был бы максимален по
модулю по сравнению с другими коэффициентами того же уравнения).
Преобразуем систему. Вторым уравнением возьмем уравнение, полученное как
разность первого и второго уравнений. Третье уравнение остается неизменным.
В качестве первого уравнения возьмем второе уравнение исходной системы.
Представим преобразованную таким образом систему (по диагонали будут
коэффициенты с максимальными по модулю значениями ) в итерационной
форме:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
