Составители:
106
Для краткости, если это не вызывает недоразумений, будем часто писать
0>
A
.
Необходимым и достаточным условием положительной
определенности самосопряженной матрицы
A
является критерий
Сильвестра, из которого, в частности, следует строгая положительность всех
диагональных элементов:
ni,a
ii
≤
≤
> 10 . (13)
Условимся обозначать собственные векторы линейного преобразования с
матрицей
Aкак
i
e , ее характеристические числа как
i
λ , координаты
произвольного вектора
x в ортонормированием базисе из собственных
векторов
i
e , как
i
ξ .
Для дальнейшего рассмотрения будут полезны три леммы.
Лемма 1. Для того чтобы самосопряженная (
+
=
A
A
) матрица была
положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее
характеристические числа были положительны:
0>
λ
i
.
Необходимость. Выберем любой собственный вектор
i
e
линейного
преобразования с матрицей
A, тогда
0>
λ
=
iii
)
,A
(
ee .
Достаточность. Расположим для определенности все характеристические
значения матрицы
+
=
A
A
в порядке убывания: 0
21
>λ≥≥
λ
≥
λ
n
... .
Поскольку по условию леммы
0>
λ
i
, то в ортонормированном базисе из
собственных векторов преобразования с матрицей
A для любого 0
≠
x
имеем
() {}
∑∑
=
=
>ξξ∀>ξλ=
n
i
n
i
iiii
.,,,A
11
22
00xx
Поэтому очевидно, что
0>
A
.
Лемма 2. Пусть
0>=
+
AA и 0
21
>λ≥≥
λ
≥
λ
n
... - упоря-
доченный набор характеристических чисел этой матрицы, тогда
(
)
2
1
2
xxxx λ≤≤λ ,A
n
. (14)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
