Составители:
105
(
)
(
)
n
E
y
,x,A
y
,x
y
,Ax
∈
∀
=
. (8)
Матрицы сопряженных преобразований в ортонормированном базисе
связаны простым транспонированием:
n,...,j,i,aa
ji
*
ij
1=∀= .
Как известно, любая матрица представима в виде
A
~
A
A
+
=
, (9)
где
+
+
+
+
−=
−
==
+
= A
~
AA
A
~
,A
AA
A
22
. (10)
Нетрудно видеть, что
.)x,xA
~
(
),x,xA()x,xA()x,Ax(
0=
==
+
(11)
В дальнейшем будем опираться на следующие важные свойства
самосопряженных преобразований:
а) все собственные значения самосопряженного линейного преобразования
(характеристические числа матрицы
A
) вещественны;
б) самосопряженное линейное преобразование всегда имеет полный набор
линейно независимых собственных векторов, из которых можно образовать
ортонормированный базис пространства
n
E
. В этом базисе матрица
линейного преобразования принимает диагональный вид, причем на ди-
агонали стоят все собственные значения этого преобразования с учетом их
кратности.
Наконец, матрица линейного преобразования
A называется
положительно определенной, если для любого, отличного от нуля
n
E
∈
x
справедливо неравенство
(
)
0>
x
x
,
A
. В ортонормированном базисе это
означает:
∑
=
≠∈∀>
n
j,i
njiij
x,Ex,xxa
1
00 . (12)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
