Составители:
43
()
Вн
TTDAC −
τ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
τ
−=
τ
−
22
1
2
. (46)
Запишем условие ее положительной определенности:
()()()
0
22
1
2
>−
τ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
τ
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
τ
−
xx,TTx,Dxx,xAC
ВН
. (47)
Второе слагаемое в выражении (47) не дает вклада в квадратичную форму в
силу соотношения (45).
Матрица
A является по предположению положительно определенной.
Следовательно, все ее диагональные элементы строго положительны:
ni,a
ii
≤≤> 10 . Это означает положительную определенность матрицы
D :
(
)
0>xx,
D
. В результате условие положительной определенности
выражения (47) - достаточное условие для сходимости итерационной
последовательности - принимает вид
20
<
τ
<
. (48)
Метод Зейделя, соответствующий случаю
1
=
ω
, удовлетворяет этому
условию. Можно поставить вопрос об оптимальном выборе параметра
*
τ=τ
, при котором метод сходится быстрее всего. Теоретическое
исследование, на котором мы не будем останавливаться, показывает, что
такое значение существует. Однако на практике его приходится подбирать
экспериментально.
Задача 3. Построить приближенное решение системы (33) (задача 1)
с помощью модифицированного метода Зейделя, полагая
34
/
=
τ
.
Рекуррентное соотношение (44), записанное покомпонентно, принимает вид
.xxx
,xxx
kkk
kkk
2
1
1
1
2
21
1
1
3
1
3
2
3
2
3
4
3
1
−−=
−−=
++
+
Примем, как и в предыдущих случаях, за начальное приближение
нулевой вектор и сделаем три итерации. При этом для каждой из них
подсчитаем невязку, позволяющую следить за сходимостью процесса:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
