Вычислительные методы в технологиях программирования. Элементы теории и практикум. Чивилихин С.А. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

46
Пространство, наделенное метрикой, называется метрическим. Пусть
B
-
полное метрическое пространство. Оператор
)
(
x
g
y
=
, отображает B в
себя. Отображение
)
(
x
g
y
= называется сжимающим, если для любых
21
xx ,
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2121
<ρ≤ρ q,,q, xxxgxg . (6)
Теорема о сходимости метода простой итерации. Если отображение
(
)
x
g
y
= - сжимающее, то уравнение
(
)
x
g
x
=
имеет решение
x
и
() ()
01
1
xxxx ,
q
q
,
k
k
ρ
−
≤ρ , где итерационная последовательность
k
x
задается соотношением (5).
Доказательство.
Рассмотрим два последовательных вектора итерационной
последовательности
1+kk
, xx . Используя (5), (6), получаем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
01111
xxxxxxxx ,q...,qg,g,
kkkkkkk
ρ≤≤ρ≤ρ=ρ
−−+
. (7)
Рассмотрим теперь два вектора итерационной последовательности
km
,xx ,
такие, что
m > . Используя неравенство многоугольника и соотношение
(7), получаем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
(
)
01011
1211
1 xxxx
xxxxxxxx
,...qq,q...q
,...,,,
kkm
kkmmmmkm
ρ++≤ρ++≤
≤ρ++ρ+ρ≤ρ
−
+−−−
.
Окончательно
() ()
01
1
xxxx ,
q
q
,
k
km
ρ
−
≤ρ . (8)
Из полученного неравенства видно, что
(
)
0→ρ
mk
, xx при
∞
→
.
Согласно критерию Коши, это означает, что существует предел
x
итерационной последовательности
k
x
. Покажем, что
(
)
x
g
x
=
, т.е. предел
итерационной последовательности является корнем уравнения (4). Переходя

Страницы