Составители:
47
в (8) к пределу при ∞→m , получаем
() ()
01
1
xxxx ,
q
q
,
k
k
ρ
−
≤ρ . (9)
Найдем расстояние между
x
и
(
)
x
g
. Если
x
действительно является
решением уравнения (4), то это расстояние должно быть равно нулю.
Используя неравенство треугольника и рекуррентное соотношение (5),
получаем
()()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
(
)
xgxgxxxgxxxxgx ,,,,,
kkkk
ρ+ρ=ρ+ρ≤ρ
+++ 111
.
Воспользуемся теперь неравенствами (6) и (8). Тогда имеем
()()
()() ()
01
1
1
1
2
xxxxxxxgx ,
q
q
,q,,
k
kk
ρ
−
≤ρ+ρ≤ρ
+
+
. (10)
Неравенство (10) справедливо при любых значениях
k
. Переходя к пределу
∞→
k
, получаем 0
=
ρ
)
)
(
,
(
x
g
x
. Следовательно,
(
)
x
g
x
= , что и
требовалось доказать.
Замечание.
Исследуем, насколько удаляются друг от друга точки итерационной
последовательности. Первая точка
1
x
удалена от начальной точки
0
x
на
расстояние
),(
01
xxρ . Положим в неравенстве (8) 0
=
k
. Тогда получаем
()
(
)
010
1
1
xxxx ,
q
,
m
ρ
−
≤ρ . (11)
Таким образом, все элементы итерационной последовательности лежат в
шаре с центром
0
x
. Радиус шара в
)
q
(
−
11 раз превышает расстояние
между первой и нулевой точками последовательности.
4.2 Метод Ньютона
Рассмотрим исходную систему нелинейных уравнений в форме (2).
Линеаризуем эту систему, разложив каждое из уравнений в ряд Тейлора
около точки
k
x
, удержав члены нулевого и первого порядка малости:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
