Физика. Часть 1. Механика, молекулярная физика и термодинамика. Чухрий Н.И - 11 стр.

В момент времени      t 1 точка М                                     М 1,
                                       занимает на траектории положение
                                          r
характеризуемое радиус-вектором ОМ 1= r 1 (и, соответственно, тремя
координатами x 1, y 1, z 1). В следующий момент времени           t 2 , спустя
промежуток времени ∆ t = t 2– t 1 , точка М занимает на траектории новое
                                                                     r
положение М 2, характеризуемое радиус–вектором ОМ 2= r 2. Дуга
 М 1 М 2= ∆ S представляет путь, пройденный точкой М за время ∆ t .
                      r
Вектор М М = ∆ r , проведенный из начального положения М 1 в
             1 2
конечное М 2, называется вектором перемещения точки М за время ∆ t .
Приrпрямолинейном движении абсолютная величина вектора перемещения  r
| ∆ r | равна пути ∆ S . В общем случае, как видно на рис.1.1, | ∆ r | и ∆ S
не совпадают.
      r           При произвольном криволинейном движении равенство
| ∆ r | = ∆ S соблюдается лишь вr пределе для бесконечноr r             rмалого
промежутка
   r r времени, r      то есть когда ∆ r → 0. Так как r 2= r 1 + ∆ r или
∆ r = r 2 – r 1, то вектор перемещения равен разности радиус-векторов
конечного и начального положения точки. Этот вектор представляет собой
приращение радиус-вектора и характеризует изменение положения точки
М в пространстве за промежуток времени ∆ t .
     Быстрота изменения положения точки определяется отношением:
      r           ∆r .
      v ср    =
                  ∆
                  rt
      Вектор      v ср ,   называемый средней скоростью движения точки за
                                                  r
время ∆ t , направлен, как и вектор ∆ r , по секущей М 1 М 2 ( рис.1.1).
                                     r промежутка времени ∆ t → 0,
Переходя к пределу для бесконечно малого
получим вектор мгновенной скорости v в точке М :
      r                              ∆r = d r .
      v = lim vcр
            M 2 →M1
                           = lim
                             ∆t →0   ∆t dt
     Секущая М 1 М 2 в пределе совпадает с касательной, поэтому вектор
мгновенной скорости направлен по касательной.
     Численно мгновенную скорость можно определить как первую
производную от радиус-вектора или перемещения по времени
                             r
       v = dr = dS , так как v = v = lim ∆S = dS ,
           dt dt                         ∆t dt
то есть величину мгновенной скорости находим как предел отношения
длины пути к промежутку времени, как в случае прямолинейного движения
(если тело движется равномерно, то          v = s , где S – путь, пройденный телом
                                                t
за время   t ).

                                             11