Физика. Часть 1. Механика, молекулярная физика и термодинамика. Чухрий Н.И - 58 стр.

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

3.1. Кинематика
      Задача 1.1. Материальная точка движется вдоль оси О Х по закону
x =2 + 3 t ² - 2 t ³, где t – время в секундах, x – координата в метрах. Найти
мгновенные скорости в моменты времени t 0 =0 и t 1 = 1,25 с, а также
среднюю скорость в промежутке времени от t 0 до t 1.

Дано:                     Решение:
x =f( t )=2+3 t ²+2 t ³   Дифференцируя x =f( t ) по t ,найдем алгебраическую
t0= 0                     величину мгновенной скорости вдоль оси x :
t 1 =1,25 с.
                          v = dx = =6 t   – 6 t ².                    (1.1.1)
v 0=?, v 1=?, v ср = ?        dt


В момент времени t = t 0 =0 материальная точка имела координату:
      x 0 = 2 + 3·0 – 2·0 = 2(м)
 и мгновенную скорость: v 0= 6·0 – 6·0 = 0 (м/с).
В момент времени t = t 1=1,25c соответственно:
      x 1 = 2 + 3·1,25² - 2·1,25³ = 2,78(м);
      v 1 = 6·1,25 – 6·1,25² = - 1,86 (м/с).
Знак „–” перед v 1 говорит о том, что материальная точка в данный момент
движется вдоль оси О Х справа налево.
      Средняя скорость по определению равна v ср = S /( t 1 – t 0), где S –
путь, пройденный за промежуток времени t 1 – t 0 = t 1 в данном случае. Было
бы ошибкой считать S как разность координат x 0 и x 1 . Исследуя функцию
x =f ( t ), заданную уравнением второй степени относительно t , убедимся,
что в промежутке от t 0 до t 1 она не возрастает монотонно от x 0 до x 1, а
имеет максимум при t max=1с со значением x max= 3м (в точке max функции ее
первая производная обращается в 0, dx dt =0 при t max). Определив t max,
найдем x max. Значит материальная точка от момента t 0 до t max прошла путь
x max – x 0 = S 1 =3 – 2= 1( м) вправо; затем на мгновение остановилось в
точке x max , и, от t max до t 1, двигалась уже налево и прошла путь,
равный S 2 = x m – x 1 = 3 – 2,78 = 0,22(м).
Таким образом, полный путь материальной точки и ее средняя скорость
могут быть найдены как:
       S = S 1 + S 2 = 1 + 0,22 = 1,22 (м);
       v ср .= S = 1,22 =0,98(м/с).                                  (1.1.2)
               t 1,25
                 1




                                          58