ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
38
Следовательно, искомое разложение имеет вид
()
[]
()
∑
∞
=
+
−++−−+
1
1
22
2
sin110
6
2
cos11
4
6
k
kk
xk
k
xk
k
π
π
π
π
.
Сумма полученного ряда
()
2=xS
в интервале (2,4),
()
xxS 2= в интервале
(4,6) и
() () () ()
582
2
1
lim
04
lim
04
2
1
4 =+=
+→
+
−→
= xf
x
xf
x
S
.
в) Продолжая данную функцию нечетным образом, мы получим
нечетную функцию
()
xxf
2
1
=
на отрезке
[]
ll,− . Поэтому все
коэффициенты
k
a
равны нулю, а коэффициенты
k
b
выражаются
интегралами:
()
∫∫
===
ll
llll
00
sin
1
sin
2
dx
xk
xdx
xk
xfb
k
ππ
=+−=
+−=
∫
0
sincoscos
0
cos
1
22
0
l
l
ll
l
l
l
l
l
l
l
xk
k
k
k
dx
xk
k
xk
k
x
π
π
π
π
π
π
π
π
()
.
1
1
π
k
k
l
+
−
=
Следовательно,
()
∑
∞
=
+
<≤
−
=
1
1
.0 ,sin
1
2
1
k
k
x
xk
k
x l
l
l
π
π
В точке l=x сумма ряда
()
.0
222
1
2
1
lim
0
2
1
lim
0
2
1
=
+−=
−→
+
+−→
=
ll
ll
l x
x
x
x
S
г) Находим:
()
()
∫∫∫
−−
−−
−
−
====
π
π
π
π
π
π
πππ
dxedxeedxexfc
xikikxxikx
k
1
2
1
2
1
2
1
()
()
()
()
.
12
1
12
1
1
ππππ
π
π
π
π
ikikxik
eeee
ik
e
ik
−−−
−
−
=
−
−
=
По формулам Эйлера
()
,1sincos
k
ik
kike −=±=
±
ππ
π
следовательно,
()
()
()
.
12
1
ππ
π
−
−
−
−
= ee
ik
c
k
k
.
Таким образом,
()
()
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−
<<−
−
−−
==
kk
ikx
k
ikx
k
x
x
ik
eee
ece
ππ
π
ππ
1
1
2
.
