ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
36
()
....3,2,1
2
,
2
,
2
0
0
=
+
=
−
==
−
k
iba
c
iba
c
a
c
kk
k
kk
k
Пример 22.1.
Разложить в ряд Фурье следующие функции:
a)
()
2
x
xf
−
=
π
в интервале
()
π
2,0;
б)
()
<<
≤<
=
;64при 2
,42при 2
xx
x
xf
в)
()
xxf
2
1
=
на отрезке
[]
l,0 по синусам;
г)
()
x
exf =
в интервале
()
ππ
,− в комплексной форме.
Решение.
В указанных промежутках данные функции можно разложить в ряд
Фурье по формулам разложения периодических функций, так как их можно
продолжить как периодические функции на всю числовую ось. Интеграл от
периодической функции по любому отрезку, длина которого равна периоду,
имеет всегда одно и то же значение. Поэтому при вычислении коэффициентов
Фурье промежуток интегрирования
()
ll,− можно заменить промежутком
()
l2, +
λλ
, где
λ
─ любое число.
а) Вычислим значения коэффициентов Фурье:
()
0
0
2
22
1
2
11
2
2
0
2
0
0
=
−=
−
==
∫∫
π
π
π
π
ππ
ππ
x
xdx
x
dxxfa ,
() ()
∫∫
−==
ππ
π
ππ
2
0
2
0
cos
2
1
cos
1
kxdxxkxdxxfa
k
.
Последний интеграл возьмем методом интегрирования по частям.
Положим kxdxdVxU cos, =−=
π
; тогда kx
k
VdxdU sin
1
, =−= ,
следовательно,
=
−=
+
−
=
∫
0
2
cos
1
2
1
sin
1
0
2
sin
2
1
2
0
π
π
π
π
π
π
kx
kk
kxdx
k
kx
k
x
a
k
()()
....3,2,100cos2cos
2
1
2
==−−= kk
k
π
π
Аналогично, интегрируя по частям, найдем
() ()
∫∫
=−==
ππ
π
ππ
2
0
2
0
sin
2
1
sin
1
kxdxxkxdxxfb
k
()
...3,2,1
1
cos
1
0
2
cos
2
1
2
0
==
−
−
−=
∫
k
k
kxdx
k
kx
k
x
π
π
π
π
.
Так как данная функция
()
2
x
xf
−
=
π
непрерывна в промежутке
()
π
2,0, то
