Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Чумакин М.Е - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

34
Аналогично найдем
()
∫∫ ∫
−
=
+−===
l
l
ll
2
0
2
0
2
cos
2
0
2
2
cos
2
4
1
2
sin
4
1
sin
1
dx
xk
k
xk
k
x
dx
xk
xdx
xk
xfb
k
π
π
π
π
ππ
()
()
,...3,2,1
1
0
2
sin
1
cos
1
1
22
=
−
=+−=
+
k
k
x
xk
k
k
k
k
π
π
π
π
π
.
Выпишем найденный ряд Фурье:
() ()
∑∑
∞
=
∞
=
+
=
−
+
−−
+=
++
11
1
22
0
2
sin
1
2
cos
11
4
1
sincos
2
kk
kk
kk
xk
k
xk
k
xk
b
xk
a
a
π
π
π
π
ππ
ll
...2sin
4
1
2
3
sin
3
1
2
3
cos
9
2
sin
2
1
2
sin
1
2
cos
2
4
1
22
−−+−−+−= x
xx
x
xx
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
Сумма найденного ряда
()
xS совпадает с данной функцией
()
xf
во всех
точках непрерывности функции
()
xf
. В точках разрыва
()
,...2,1,024 ±±=−= kkx
()
()()
()()
=
+−+−−
=
+−+−−
=−
2
0202
2
024024
24
ffkfkf
kS
()()
.
2
1
2
10
2
0202
=
+
=
−++−
=
ff
Заметим, что точки
()
,...2,1,04 ±±== kkx являются точками непрерывности
данной функции
()
xf
. В силу периодичности функции достаточно установить
непрерывность
()
xf
в точке 0=x . Это сразу следует из соотношения
() () ()
000
fff =+=−
.
в) Данная функция четная, вследствие чего вс е коэффициенты
0=
k
b
, а
коэффициенты
k
a
вычисляются таким образом:
() () ()
∫∫∫
=+==
ll
l
l
llllll
0
2
2
0
cos
2
cos
2
cos
2
dx
xk
xfdx
xk
xfdx
xk
xfa
k
πππ
∫∫
=
++
−==
2
0
2
0
coscos
1
coscos
2
ll
llllllll
dx
xkxxkx
dx
xkx
ππππππ
()
()
()
()
=
+
+
+
−
−
=
0
2
1
sin
1
0
2
1
sin
1
1
l
l
l
l
l
l
l
xk
k
xk
k
π
π
π
π

Страницы