Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Чумакин М.Е - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

33
....
4
2sin22cos
1
sincos
2
1
22
−
+
−
+
+
−
−
−
=
−
a
xxa
a
xxa
a
ee
aa
π
ππ
Сумма полученного ряда
()
xS равна значению функции
()
xf
в точках
непрерывности этой функции. В точках разрыва
()( )
,...2,1,012 ±±=−= nnx
π
сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функций слева и
справа:
()()
()()()()
2
012012
12
+−+−−
=−
ππ
π
nfnf
nS
.
В силу периодичности функции
()
xf
с периодом
()()()
xfnxf =+
ππ
22
имеем
()()()()()()
=+−+−−=+−+−− 00012012
ππππ
ffnfnf
( )()()()
,00020 −++−=+−++−−=
πππππ
ffff
следовательно,
()()
()()
() ()
=
+
=
−++−
=−
−+−
22
00
12
00
ππ
ππ
π
aa
ee
ff
nS
.
2
lim
0
lim
0
2
1
ππ
ππ
a
e
a
e
ax
e
x
ax
e
x
+
−
=
−→
+
+−→
=
б) Вычислим коэффициенты Фурье:
() () () ()
∫∫∫∫
−−−
=+===
2
2
2
0
0
2
2
cos
2
1
2
cos
2
1
2
cos
2
1
cos
1
dx
xk
xfdx
xk
xfdx
xk
xfdx
xk
xfa
k
ππππ
l
l
ll
∫
=
2
0
.
2
cos
4
1
dx
xk
x
π
Последний интеграл возьмем по частям. Положим
dx
xk
dVxU
2
cos ,
π
==
; тогда
2
sin
2
,
xk
k
VdxdU
π
π
==
, следовательно
()
∫∫
=−=
=−=
2
0
22
22
0
0coscos
4
0
2
2
cos
2
2
sin
2
0
2
2
sin
2
2
cos
π
π
π
π
π
π
π
π
π
k
k
xk
k
dx
xk
k
xk
k
x
dx
xk
x
()
[
]
22
114
π
k
k
−−
=
.
Таким образом,
()
=
=−
=
−−
==
∫
,...6,4,2 при 0
,...5,3,1 при
2
11
2
cos
4
1
22
22
2
0
k
k
k
k
dx
xk
xa
k
k
π
π
π
При
0=k
полученное здесь выражение для
k
a
не имеет смысла. Поэтому
коэффициент
0
a
вычислим отдельно:
() ()
∫∫∫
−−
=====
l
l
l
2
0
2
2
2
0
2
1
0
2
24
1
22
1
2
11
x
dx
x
dxxfdxxfa
.

Страницы