Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Чумакин М.Е - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

31
Если +∞<
∫
−
dxxf
l
l
)(
2
, то коэффициенты Фурье записываются в виде
xdx
l
n
xf
l
a
l
l
n
π
cos)(
1
∫
−
= ,...)2,1,0( =n , (21.4)
xdx
l
n
xf
l
b
l
l
n
π
sin)(
1
∫
−
= ,...)2,1,0( =n , (21.5)
а ряд Фурье- в виде
∑
∞
=
++=
1
0
sincos
2
)(
n
nn
x
l
n
bx
l
n
a
a
xS
ππ
. (21.6)
Если функция )(xf - четная, то
xdx
l
n
xf
l
a
l
n
π
cos)(
2
0
∫
= ,...)2,1,0( =n ,
0=
n
b
,...)2,1(
=
n
. (21.7)
Если функция )(xf - нечетная, то
0=
n
a
,...)2,1,0( =n , xdx
l
n
xf
l
b
l
n
π
sin)(
2
0
∫
=
,...)2,1( =n
. (21.8)
Суммы рядов (21.3) и (21.6) являются периодическими функциями
соответственно с периодами
π
2 и l2.
Функция )(xf называется кусочно гладкой на отрезке ],[ ba , если сама
функция и ее производная имеют на ],[ ba не более чем конечное число точек
разрыва, и все они первого рода, т.е. в каждой точке разрыва x функция )(xf
имеет конечный левый предел
)(lim)0(
0
ε
ε
−=−
→
xfxf
и конечный правый
предел
)(lim)0(
0
ε
ε
+=+
→
xfxf
)0( >
ε
.
Если периодическая функция )(xf
с периодом l2 кусочно гладкая на
отрезке ],[ ll− , то ряд Фурье (21.6) сходится к значению )(xf
в каждой ее точке
непрерывности и к значению
()
)0()0(
2
1
++−
xfxf в точках разрыва. Если
дополнительно )(xf непрерывна на всей числовой оси, то ряд (21.6) сходится к
)(xf равномерно.
В случае разложения функции )(xf
в ряд Фурье в произвольном
промежутке )2,( laa + длины l2 пределы интегрирования в формулах (21.4) и
(21.5) коэффициентов Фурье следует заменить соответственно на a и la 2+ .
В концах интервала )2,( laa + сумма ряда Фурье (21.6) равна
()
)02()0(
2
1
)2()( −+++=+= lafaflaSaS .
Пример 21.1.
Разложить в ряд Фу рье следующие периодические
функции:
а)
ax
exf =)(
при
ππ
≤<− x
()
)()2(
xfxf =+
π
;

Страницы