Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5
ВВЕДЕНИЕ
Для математики во все времена были характерны тенденции к
обобщению знаний и к рассмотрению с единых позиций идеальных ко-
личественных моделей как в самой математике, так и применительно к
математическим моделям материального мира, даже если эти модели
существенно различаются и на первый взгляд не имеют ничего общего.
В этом отношении дробный анализ не является исключением.
Под дробным анализом (или дробным исчислением) будем пони-
мать такое направление в анализе, в котором обобщаются аналитиче-
ские операции дифференцирования и интегрирования «обычного»
(«стандартного», «классического», «традиционного») анализа, основа-
телями которого являются Лейбниц и Ньютон, на случай производных и
интегралов любого конечного вещественного порядка, как целочислен-
ного, так и нецелочисленного. В рамках дробного анализа исследуются
свойства дробного дифференцирования и дробного интегрирования
(или просто дробного интегродифференцирования) и их всевозможные
приложения, как в самой математике, так и в естествознании.
Таким образом, развитие дробного анализа важно в двух аспектах:
1) математическое обобщение стандартного анализа на случай
производных и интегралов дробных порядков;
2) приложение дробного анализа для создания математических
моделей реального мира, где обычный анализ не позволяет формулиро-
вать адекватные математические модели.
Развивать дробный анализ можно с использованием различных
подходов, многие из которых описаны в литературе [1-3].
Один из наиболее простых способов построения дробного анализа
предложил Адамар: анализ строится с помощью одного из введѐнных
Адамаром операторов дробного дифференцирования функций, выра-
жаемых с помощью степенных рядов [3]. Подходу Адамара, названному
программой Адамара, не уделялось должного внимания, поэтому он не
получил дальнейшего развития, хотя и представляется более естествен-
ным и интуитивно понятным, чем многие другие подходы. Простота и
логичность подхода Адамара дают основание предполагать, что зало-
женные в нѐм идеи после дальнейшего их совершенствования смогут
послужить основой для построения дробного анализа, такого же полно-
ценного, как и традиционный анализ. Кроме того, в данном подходе
имеется большой потенциал для самых разных обобщений.
Несмотря на положительные моменты данной программы по-
строения дробного анализа, оператор Адамара имеет ряд недостатков.
Ели изменить оператор Адамара, налагая дополнительные условия, то

Страницы