Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3 Случайные величины 113
3.9. Функции от одной случайной величины
В этом параграфе мы рассмотрим случайные величины, являющиеся
функциями от других, возможно «стандартных», случайных величин .
Мы покажем, как найти закон распределения функции и ее числовые
характеристики, если известен закон распределения аргумента.
Определение функции от случайной величины. Пусть зада-
на некоторая случайная величина ξ с областью определения Ω и м но-
жеством значений V
ξ
, на котором, в свою очередь, определена обычная
функция y(x) от одной действительной переменной x. Тогда случайная
величина Y , отображающая Ω в множество действительных чисел по
правилу Y = y(ξ), называется функцией от случайной величины ξ.
Задача 3.29. Стрелок попадает по мишени с вероятностью 0.8
при каждом выстреле, независимо от предыдущих выстрелов. Стрель-
ба ведется до первого попадания. Случайная величина Y - число сделан-
ных промахов. Найти закон распределения Y и ее числовые характери-
стики.
Рассмотрим стандартную случайную величину ξ - число сделанных
выстрелов до первого «успеха». Эта величина имеет геометрический за-
кон распределения, в котором
P(ξ = k) = 0.2
k−1
·0.8, M
ξ
= 1/0.8 = 1.25, D
ξ
= 0.2/0.8
2
= 0.3125.
Очевидно, что Y = y(ξ) = ξ −1. Следовательно, Y имеет множество зна-
чений {0, 1, 2, . . . }, причем Y = m тогда и только тогда, когда ξ = m + 1.
Отсюда вытекает, что закон распределения Y задается формулой P(Y =
m) = 0.2
m
·0.8. Из определения математического ожидания вытекает, что
M
Y
= M
ξ−1
= (x
1
− 1) · p
1
+ (x
2
− 1) · p
2
+ ··· =
= M
ξ
− (p
1
+ p
2
+ . . . ) = M
ξ
− 1 = 0.25.
Из определения дисперс ии вытекает, что D
Y
= D
ξ
= 0.3125.
Задача 3.30. Пусть случайная величина ξ принимает равновоз-
можно любое целое значение от −5 до 5, включительно. Других зна-
чений нет. Случайная величина Y связана с ξ функциональной зави-
симостью: Y = y(ξ) = ξ
2
− ξ − 6. Найти закон распределения Y , ее
математическое ожидание и дисперсию.

Страницы