Составители:
Рубрика:
Глава 3 Случайные величины 115
В формулах (3.32) значения ξ обозначены через x
i
, а соответствующие
им вероятности — через p
i
.
Заметим, что из существования математического ожидания и диспер-
сии для данной дискретной случайной величины ξ, не вытекает суще-
ствование математического ожидания и дисперсии для функции от этой
случайной величины (для бесконечных таблиц распределения).
Можно доказать, что если существуют математическое ожидание и
дисперсия функции от абсолютно непрерывной случайной величины, то
они вычисляются по формулам:
M
Y
=
+∞
Z
−∞
y(x)p(x) dx, (3.34)
D
Y
=
+∞
Z
−∞
(y(x) −M
Y
)
2
p(x) dx =
+∞
Z
−∞
y(x)
2
p(x) dx − M
Y
2
. (3.35)
Из формул (3.32) – (3.35) вытекают полезные с лед ствия (докажите
самостоятельно в качестве упражнения):
а) если y(x) = kx + b, то для Y = y(ξ) имеем M
Y
= kM
ξ
+ b и D
Y
=
k
2
D
ξ
;
б) если y(x) = x
2
, то для Y = y(ξ) имеем M
Y
= D
ξ
+ M
ξ
2
;
в) если y(x) = y
1
(x) + y
2
(x), то для Y = y(ξ) имеем M
Y
= M
1
+
M
2
, где M
1
— математическое ожидание дл я y
1
(ξ), а M
2
— для y
2
(ξ)
(предполагаем, что M
1
и M
2
существуют).
Задача найти закон распределения функции от абсолютно непр ерыв-
ной случайной величины сводится к проблеме определения ее типа и
отыскания ее функции распределения. С общими принципами решения
этой задачи можно ознакомиться в [2, 4, 9]. Здесь мы расс мотри м два
примера, иллюстрирующих эти общие принципы.
Задача 3.31. Случайная величина ξ имеет равномерное распреде-
ление на отрезке [0, 1]. Найти закон распределения величины Y = 2ξ + 3
и ее числовые характеристики.
Вычислим сперва математическое ожидание и дисперсию Y по след-
ствиям из формул (3.34), (3.35): M
Y
= 2 M
ξ
+ 3 = 2 · 0.5 + 3 = 4,
D
Y
= 4 D
ξ
= 1/3.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- …
- следующая ›
- последняя »
