Теория вероятностей. Чурилова М.Ю. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

116 Теория вероятностей
Закон распределения Y найдем из следующих соображений:
F
Y
(x) = P(Y < x) = P(2ξ + 3 < x) = P(ξ < 0.5(x − 3)) = F
ξ
(0.5(x − 3));
p
Y
(x) =
dF
Y
(x)
dx
= 0.5p
ξ
(0.5(x − 3)) =
0 при x < 3,
1/2 при 3 6 x 6 5,
0 при x > 5.
Последняя формула вытекает из того, что число x принадлежит от-
резку [3, 5] тогда и только тогда, когда число 0.5(x − 3) принадлежит
отрезку [0, 1].
Задача 3.32. Случайная величина ξ имеет равномерное распреде-
ление на отрезке [0, 1]. Найти закон распределения величины Y = ξ
2
и
ее числовые характеристики.
Как было сказано выше, M
Y
= D
ξ
+ M
ξ
2
= 1/12 + 1/4 = 1/3. Вычис-
лим ту же величину с помощью формулы (3.34): M
Y
=
1
R
0
x
2
dx = 1/3.
Дисперсию Y определим по формуле (3.35): D
Y
=
1
R
0
x
4
dx−1/9 = 4/45.
Найдем плотность распределения Y :
F
Y
(x) = P(ξ
2
< x) =
P(ξ <
√
x) = F
ξ
(
√
x) =
√
x при 0 6 x 6 1,
0 при x < 0,
1 при x > 1;
p
Y
(x) =
dF
Y
(x)
dx
=
0 при x < 0,
1
2
√
x
при 0 < x < 1,
0 при x > 1.
Вычислим с помощью плотности Y математическое ожидание и диспер-
сию Y :
M
Y
=
1
Z
0
x
2
√
x
dx =
1
3
, D
Y
=
1
Z
0
x
2
2
√
x
dx − M
Y
2
=
4
45
.

Страницы