Составители:
Рубрика:
Глава 3 Случайные величины 97
Функция вида (3.23) отражает предельные свойства биномиального
распределения.
Задача 3.22. Монета подбрасывается сто раз. Случайная величи-
на ξ — число выпавших гербов. Считая распределение ξ биномиальным с
параметрами n = 100, p = 0.5, вычислить вероятности событий ξ = m
для m от 1 до 100. Сравнить полученные числа со значениями функции
p(x) вида (3.23) при a = np = 50, σ =
√
npq = 5, где q = 1 − p. Постро-
ить график функции распределения ξ и сравнить его с функцией F(x),
определенной по формуле (3.18).
Для расчета вероятности события ξ = m, которое ранее обозначалось
символом E
n,m
, воспользуемся формулой Бернулли (2.14):
P(E
n,m
) = C
m
n
p
m
q
n−m
.
По этой формуле при n = 100, m = 0 имеем P(E
100,0
) = q
n
= 0.5
100
. Для
остальных m расчеты вероятности событий E
n,m
проделаем, используя
отношение:
P(E
n,m+1
)
P(E
n,m
)
=
C
m+1
n
p
m+1
q
n−m+1
C
m
n
p
m
q
n−m
=
(n − m)p
(m + 1)q
=
100 − m
m + 1
(см. табл. 3.1). Вероятности событий E
100,m
и E
100,101−m
совпадают, по-
скольку p = q = 0.5. Поэтому имеет смысл анализировать только ве-
роятности, соответствующие значениям m от 0 до 50. При m < 36 все
вероятности меньше, чем 10
−3
. Вероятности, соответствующие значени-
ям m от 36 до 50, округленные до трех верных цифр, помещены во второй
столбец таблицы.
В третий столбец помещены значения функции p(x) при тех же m.
Значения во втором и третьем столбцах таблицы практически совпадают.
Это иллюстрирует следующую предельную теорему.
Теорема 3.9 (локальная теоpема Муавpа—Лапласа). Пусть
вероятность p постоянна, q = 1 − p, 0 6 m 6 n, x = (m − np)/
√
npq.
Тогда
lim
n→∞
√
npq P(E
n,m
)
.
1
√
2π
e
−0.5 x
2
n
= 1
равномерно для всех m, для которых x находится в каком-либо конечном
интервале.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
