ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2 3
Тема «Интегрирование тригонометрических функций»
имеет практический характер, используется не только в
математике при решении многих задач, при изучении
теории рядов Фурье, но и приложениях. Например , в
математической физике при рассмотрении задачи о
распространении тепла, задачи о колебании струны, в
электротехнике при изучении периодических
несинусоидальных токов, в теории электрических цепей, в
теории автоматического регулирования, при решении
многих задач теоретической механики и сопромата.
Техника интегрирования сложнее по сравнению с
дифференцированием. Нужны определенные навыки и
изобретательность которые приобретаются на практике.
Необходимые умения.
1. Знать условия проверки для выбора подстановки.
2. Уметь выполнять преобразования.
3. Уметь выбрать подстановку удобную для данного
интеграла.
Выполните задания:
1. Прочитайте §1 и запишите определение рационально
-тригонометрических функций.
2. Изучите §2 и запишите основные формулы.
3. Прочитайте и рассмотрите образцы решений §3.
4. Воспроизведите блок-схему I в тетради.
5. Изучите и воспроизведите в тетради блок-схему II.
6. Пользуясь блок-схемами, указать подстановки в
примерах:
∫∫
∫
⋅
⋅⋅
xx
dx
dxdxxc
dxxxbxdxxa
24
42
752
cossin
)cossin)
cossin)cossin)
Самостоятельно найти решение этих интегралов. Для
проверки обратитесь к решениям в §4.
7. Изучите §5 и вычислите интегралы:
∫
∫
∫
⋅
⋅
xdxtgc
xdxxb
xdxxa
4
)
5sin3sin)
2cos6sin)
Ответы в §7.
Ответьте письменно на вопросы:
а) Какой общий метод вычисления интегралов от функции
рациональной относительно тригонометрических функций.
b) Пользуясь блок-схемой I, запишите подстановки
∫
∫
xdxxRxdxxR sin)(cos;cos)(sin
.
Вычислите :
∫
∫
⋅⋅ xdxxxdxx sincos,cossin
34
Проверьте ответы дифференцированием.
Дан
∫
;)cos(sin dxxxR
какая подстановка быстрее ведет
к цели:
2
x
tgt =
или t=tgx, если sinx и cosx входят в
выражение
)cos(sin xxR
, только в четных степенях ?
8. Вычислите
∫
−
x
x
dx
a
22
cos3sin
)
(Ответ в §7).
Тема «Интегрирование тригонометрических функций» Самостоятельно найти решение этих интегралов. Для
имеет практический характер, используется не только в проверки обратитесь к решениям в §4.
математике при решении многих задач, при изучении
теории рядов Фурье, но и приложениях. Например , в 7. Изучите §5 и вычислите интегралы:
математической физике при рассмотрении задачи о
распространении тепла, задачи о колебании струны, в ∫
a ) sin 6 x ⋅ cos 2 xdx
электротехнике при изучении периодических b) ∫ sin 3 x ⋅ sin 5 xdx
несинусоидальных токов, в теории электрических цепей, в
теории автоматического регулирования, при решении c ) ∫ tg 4 xdx
многих задач теоретической механики и сопромата.
Техника интегрирования сложнее по сравнению с Ответы в §7.
дифференцированием. Нужны определенные навыки и
изобретательность которые приобретаются на практике. Ответьте письменно на вопросы:
а) Какой общий метод вычисления интегралов от функции
Необходимые умения. рациональной относительно тригонометрических функций.
1. Знать условия проверки для выбора подстановки. b) Пользуясь блок-схемой I, запишите подстановки
2. Уметь выполнять преобразования.
3. Уметь выбрать подстановку удобную для данного
∫ R(sin x) cos xdx; ∫ R(cos x) sin xdx .
интеграла.
Вычислите :
∫ sin x ⋅ cos xdx, ∫ cos x ⋅ sin xdx
4 3
Выполните задания:
1. Прочитайте §1 и запишите определение рационально Проверьте ответы дифференцированием.
-тригонометрических функций.
2. Изучите §2 и запишите основные формулы.
3. Прочитайте и рассмотрите образцы решений §3.
Дан ∫ R(sin x cos x)dx; какая подстановка быстрее ведет
4. Воспроизведите блок-схему I в тетради. x
5. Изучите и воспроизведите в тетради блок-схему II. к цели: t = tg или t=tgx, если sinx и cosx входят в
2
6. Пользуясь блок-схемами, указать подстановки в выражение R (sin x cos x ) , только в четных степенях ?
примерах:
8. Вычислите
a) ∫ sin 2 x ⋅ cos5 xdx b) sin 7 x ⋅ cos x dx dx
a) ∫
dx sin x − 3 cos 2 x
2
c) ∫ sin 2 x ⋅ cos 4 xdx d )∫ (Ответ в §7).
sin 4 x cos 2 x
2 3
