Интегрирование тригонометрических функций. Цибенова Р.В - 5 стр.

   §2. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ                                                       x                2dt
                ПОДСТАНОВКА                                                       dx       tg = t ,      dx =
                                                                                                              1+ t2 =
                                                                               ∫ sin x = 2            2t
                                                                                             sin x =
                                                                                                     1+ t2
       Рассмотрим общий вид нахождения интегралов вида
                                                                                       2dt           dt               x
∫ R(sin x, cos x)dx . Любой интеграл такого вида решается                      ∫ 2 2t = ∫ t = ln t + C = ln tg 2 + C.
                   x                                                             (1 + t )
подстановкой t = tg   (-π < x < π), которая называется                                    1+ t2
                   2
универсальной, и приводится к интегралу от рациональной
                                               2dt                                      dx            x
функции t. В этом случае x = arctgt и dx =
                                              1+ t2
                                                    (1).                Равенство    ∫ sin x = ln tg 2 + C     включите в таблицу.
Найдем выражения sinx и cosx через t.
                                                                        Пример 2.
                           x   x            x
                    2 sin cos          2tg
           sin x           2   2 =          2 = 2t                                                        x                 2dt
   sin x =       =                                                (2)                                     tg  = t , dx =
             1           x       x            x 1+ t2                             dx
                   cos 2 + sin 2     1 + tg 2                                                             2               1+ t2
                         2       2            2                         ∫ 3sin x + 4 cos x + 5 =               2t               1− t2
                                                                                                                                      =
                          x      x            x                                                    sin x =         , cos x =
                   cos2 − sin 2      1 − tg 2                                                              1+ t2                1+ t2
           cos x          2      2            2   1− t2
   cos x =       =                 =            =                 (3)                      2dt                                  dt
             1          2 x    2 x          2 x   1+ t2                 =∫                                      = 2∫                         =
                   cos + sin         1 + tg                                      2  6t        4(1 − t )
                                                                                                      2
                                                                                                                          2  t + 6t + 9 
                                                                                                                                 2
                          2      2            2                            (1 + t )       +            + 5       (1 + t )           
                                                                                    1+ t       1+ t2                          1+ t
                                                                                          2                                           2
                                                                                                                                          
     С помощью выражений (1), (2), (3) представим                                 dt                dt        (t + 3) −1
                                                                        = 2∫              =  2 ∫ (t + 3)2 = 2            +C =
∫ R(sin x, cos x)dx в виде интеграла от рациональной                         t 2 + 6t + 9                        −1
функции переменного t:                                                        2                 2
                                                                        =−        +C = −               + C.
                                                                           t +3                 x
                                                                                            tg + 3
                                 2t 1 − t 2           2dt                                     2
     ∫ R(sin x, cos x)dx = ∫ R 1 + t 2 , 1 + t 2    ⋅
                                                        1+ t
                                                              2




    Пример 1.


                                           6                                           7