Интегрирование тригонометрических функций. Цибенова Р.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

6 7
§2. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПОДСТАНОВКА
Рассмотрим общий вид нахождения интегралов вида
dxxxR
∫
)cos,(sin
. Любой интеграл такого вида решается
подстановкой
2
x
tgt =
(-π < x < π), которая называется
универсальной, и приводится к интегралу от рациональной
функции t. В этом случае
2
1
2
t
dt
dxиarctgtx
+
== (1).
Найдем выражения sinx и cosx через t.
2
222
1
2
2
1
2
2
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin2
1
sin
sin
t
t
x
tg
x
tg
xx
xx
x
x
+
=
+
=
+
==
(2)
2
2
2
2
22
22
1
1
2
1
2
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
1
cos
cos
t
t
x
tg
x
tg
xx
xx
x
x
+
−
=
+
−
=
+
−
==
(3)
С помощью выражений (1), (2), (3) представим
dxxxR
∫
)cos,(sin
в виде интеграла от рациональной
функции переменного t:
22
2
2
1
2
1
1
,
1
2
)cos,(sin
t
dt
t
t
t
t
RdxxxR
+
⋅
+
−
+
=
∫∫
Пример 1.
.
2
lnln
1
2
)1(
2
1
2
sin
1
2
,
2
sin
2
2
2
2
C
x
tgCt
t
dt
t
t
t
dt
t
t
x
t
dt
dxt
x
tg
x
dx
+=+==
+
+
=
+
=
+
==
=
∫∫
∫
Равенство
C
x
tg
x
dx
+=
∫
2
ln
sin
включите в таблицу.
Пример 2.
.
3
2
2
3
2
1
)3(
2
)3(
2
96
2
1
96
)1(
2
5
1
)1(4
1
6
)1(
2
1
1
cos,
1
2
sin
1
2
,
2
5cos4sin3
1
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
x
tg
C
t
C
t
t
dt
tt
dt
t
tt
t
dt
t
t
t
t
t
dt
t
t
x
t
t
x
t
dt
dxt
x
tg
xx
dx
+
+
−=+
+
−=
=+
−
+
=
+
=
++
=
=
+
++
+
=
+
+
−
+
+
+
=
=
+
−
=
+
=
+
==
=
++
∫∫
∫∫
∫
−
   §2. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ                                                       x                2dt
                ПОДСТАНОВКА                                                       dx       tg = t ,      dx =
                                                                                                              1+ t2 =
                                                                               ∫ sin x = 2            2t
                                                                                             sin x =
                                                                                                     1+ t2
       Рассмотрим общий вид нахождения интегралов вида
                                                                                       2dt           dt               x
∫ R(sin x, cos x)dx . Любой интеграл такого вида решается                      ∫ 2 2t = ∫ t = ln t + C = ln tg 2 + C.
                   x                                                             (1 + t )
подстановкой t = tg   (-π < x < π), которая называется                                    1+ t2
                   2
универсальной, и приводится к интегралу от рациональной
                                               2dt                                      dx            x
функции t. В этом случае x = arctgt и dx =
                                              1+ t2
                                                    (1).                Равенство    ∫ sin x = ln tg 2 + C     включите в таблицу.
Найдем выражения sinx и cosx через t.
                                                                        Пример 2.
                           x   x            x
                    2 sin cos          2tg
           sin x           2   2 =          2 = 2t                                                        x                 2dt
   sin x =       =                                                (2)                                     tg  = t , dx =
             1           x       x            x 1+ t2                             dx
                   cos 2 + sin 2     1 + tg 2                                                             2               1+ t2
                         2       2            2                         ∫ 3sin x + 4 cos x + 5 =               2t               1− t2
                                                                                                                                      =
                          x      x            x                                                    sin x =         , cos x =
                   cos2 − sin 2      1 − tg 2                                                              1+ t2                1+ t2
           cos x          2      2            2   1− t2
   cos x =       =                 =            =                 (3)                      2dt                                  dt
             1          2 x    2 x          2 x   1+ t2                 =∫                                      = 2∫                         =
                   cos + sin         1 + tg                                      2  6t        4(1 − t )
                                                                                                      2
                                                                                                                          2  t + 6t + 9 
                                                                                                                                 2
                          2      2            2                            (1 + t )       +            + 5       (1 + t )           
                                                                                    1+ t       1+ t2                          1+ t
                                                                                          2                                           2
                                                                                                                                          
     С помощью выражений (1), (2), (3) представим                                 dt                dt        (t + 3) −1
                                                                        = 2∫              =  2 ∫ (t + 3)2 = 2            +C =
∫ R(sin x, cos x)dx в виде интеграла от рациональной                         t 2 + 6t + 9                        −1
функции переменного t:                                                        2                 2
                                                                        =−        +C = −               + C.
                                                                           t +3                 x
                                                                                            tg + 3
                                 2t 1 − t 2           2dt                                     2
     ∫ R(sin x, cos x)dx = ∫ R 1 + t 2 , 1 + t 2    ⋅
                                                        1+ t
                                                              2




    Пример 1.


                                           6                                           7

Страницы