ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8 9
§3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
dxxxR
∫
)cos,(sin
Универсальная тригонометрическая подстановка часто
приводит к очень громоздким вычислениям. Поэтому
рассмотрим случаи, которые быстрее приводят к цели. Эти
случаи указаны в блок-схеме I.
а) Если условие
BY :
)cos,(sin)cos,sin( xxRxxR
−
=
−
, то лучше подстановку:
cosx=t, sinxdx=-dt.
б) Если выполняется условие:
)cos,(sin xxR
−
=
)cos,(sin xxR−=
, то применить подстановку: sinx=t и
cosxdx=dt.
в) Если выполняется условие:
)cos,(sin)cos,sin( xxRxxR
=
−−
, то удобнее подстановка:
tgx=t,
()
tctgxилиdt
x
dx
==
2
cos
.
Такая подстановка используется и в интегралах вида
∫
dxtgxR )(.
Пример 3.
∫
+
dx
x
x
2
3
sin1
cos
1)
Проверим условие (б) для данной функции:
x
x
x
x
2
3
2
3
sin1
cos
sin1
)cos(
+
−=
+
−
. Условие (б) выполняется,
поэтому применяем подстановку sinx=t, cosxdx=dt.
2)
Выполним преобразование:
xxxdxxx cos)sin1(coscoscos
223
−==
.
3)
.sin)(sin2
2
1
2
11
1
1)1(
1111
1
cos
sin
sin1
cos)sin1(
sin1
cos
222
2
2
22
2
22
2
2
2
2
3
Cxxarctg
Ctarctgtdt
t
dt
t
dt
dt
t
dt
dt
t
t
t
dt
t
dtt
t
dt
dt
t
t
dtxdx
tx
x
xdxx
dx
x
x
+−=
=+−=−
+
=
+
+−
+
=
=
+
−+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
=
=
=
=
=
+
−
=
+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫
Пример 4.
∫
−
x
x
dx
22
cos7sin4
1) Проверяем выполнение условия (в) для под-
интегральной функции:
xxxx
2222
cos7sin4
1
)cos(7)sin(4
1
−
=
−−−
Условие (в) выполняется, поэтому применим
подстановку tgx=t.
2) Выполним преобразование: разделим числитель и
знаменатель на cos
2
x
.
72
72
ln
74
4
72
72
ln
74
1
4
7
4
7
ln
4
7
2
1
4
1
4
7
4
1
74
cos
74
cos
cos7sin4
2
2
2
2
2
22
C
tgx
tgx
C
t
t
C
t
t
t
dt
t
dt
dt
x
dx
ttgx
xtg
x
dx
xx
dx
+
+
−
=+
+
−
=
=+
+
−
=
−
=
−
=
=
=
=
=
−
=
−
∫∫
∫∫
§3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ∫ R(sin x, cos x)dx 3)
cos3 x (1 − sin 2 x) cos xdx sin x = t
∫ 1 + sin 2 x dx = ∫ 1 + sin 2 x = cos xdx = dt =
Универсальная тригонометрическая подстановка часто
1− t2 dt t 2 dt dt (t 2 + 1) − 1
приводит к очень громоздким вычислениям. Поэтому =∫ dt = ∫ 1 + t 2 ∫ 1 + t 2 ∫ 1 + t 2 ∫ 1 + t 2 dt =
− = −
рассмотрим случаи, которые быстрее приводят к цели. Эти 1+ t2
случаи указаны в блок-схеме I. dt dt dt
=∫ − ∫ dt + ∫ = 2∫ 2
t +1 ∫
− dt = 2arctgt − t + C =
1+ t 2
1+ t 2
а) Если условие BY :
= 2arctg (sin x) − sin x + C.
R(− sin x, cos x) = − R(sin x, cos x) , то лучше подстановку: Пример 4.
cosx=t, sinxdx=-dt. dx
б) Если выполняется условие: R(sin x,− cos x) = ∫ 4 sin x − 7 cos 2 x
2
= −R(sin x, cos x) , то применить подстановку: sinx=t и 1) Проверяем выполнение условия (в) для под-
cosxdx=dt. интегральной функции:
в) Если выполняется условие: 1 1
=
R(− sin x,− cos x) = R(sin x, cos x) , то удобнее подстановка: 4(− sin x) − 7(− cos x)
2 2
4 sin x − 7 cos2 x
2
dx Условие (в) выполняется, поэтому применим
tgx=t, = dt (или ctgx = t ) .
cos2 x подстановку tgx=t.
Такая подстановка используется и в интегралах вида 2) Выполним преобразование: разделим числитель и
знаменатель на cos2x
∫ R(tgx)dx . dx
tgx = t
dx cos 2 x = dx
Пример 3. ∫ 4 sin 2 x − 7 cos2 x ∫ 4tg 2 x − 7
=
2
= dt
=
cos3 x cos x
∫ 1 + sin 2 x dx
dt 1 dt 1 1 t− 7
1) Проверим условие (б) для данной функции: =∫ 2 = ∫ = ln 4 +C =
(− cos x)3 cos3 x 4t − 7 4 t 2 − 7 4 2 7 t+ 7
=− . Условие (б) выполняется, 4 4 4
1 + sin 2 x 1 + sin 2 x
поэтому применяем подстановку sinx=t, cosxdx=dt. 1 2t − 7 4 2 tgx − 7
= ln +C = ln + C.
2) Выполним преобразование: 4 7 2t + 7 4 7 2 tgx + 7
cos3 x = cos2 x cos xdx = (1 − sin 2 x) cos x .
8 9
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
