Интегрирование тригонометрических функций. Цибенова Р.В - 6 стр.

UptoLike

Рубрика: 

8 9
§3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
dxxxR
)cos,(sin
Универсальная тригонометрическая подстановка часто
приводит к очень громоздким вычислениям. Поэтому
рассмотрим случаи, которые быстрее приводят к цели. Эти
случаи указаны в блок-схеме I.
а) Если условие
BY :
)cos,(sin)cos,sin( xxRxxR
=
, то лучше подстановку:
cosx=t, sinxdx=-dt.
б) Если выполняется условие:
)cos,(sin xxR
=
)cos,(sin xxR=
, то применить подстановку: sinx=t и
cosxdx=dt.
в) Если выполняется условие:
)cos,(sin)cos,sin( xxRxxR
=
, то удобнее подстановка:
tgx=t,
()
tctgxилиdt
x
dx
==
2
cos
.
Такая подстановка используется и в интегралах вида
dxtgxR )(.
Пример 3.
+
dx
x
x
2
3
sin1
cos
1)
Проверим условие (б) для данной функции:
x
x
x
x
2
3
2
3
sin1
cos
sin1
)cos(
+
=
+
. Условие (б) выполняется,
поэтому применяем подстановку sinx=t, cosxdx=dt.
2)
Выполним преобразование:
xxxdxxx cos)sin1(coscoscos
223
==
.
3)
.sin)(sin2
2
1
2
11
1
1)1(
1111
1
cos
sin
sin1
cos)sin1(
sin1
cos
222
2
2
22
2
22
2
2
2
2
3
Cxxarctg
Ctarctgtdt
t
dt
t
dt
dt
t
dt
dt
t
t
t
dt
t
dtt
t
dt
dt
t
t
dtxdx
tx
x
xdxx
dx
x
x
+=
=+=
+
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
+
=
+
=
=
=
=
=
+
=
+
∫∫
∫∫
Пример 4.
x
x
dx
22
cos7sin4
1) Проверяем выполнение условия (в) для под-
интегральной функции:
xxxx
2222
cos7sin4
1
)cos(7)sin(4
1
=
Условие (в) выполняется, поэтому применим
подстановку tgx=t.
2) Выполним преобразование: разделим числитель и
знаменатель на cos
2
x
.
72
72
ln
74
4
72
72
ln
74
1
4
7
4
7
ln
4
7
2
1
4
1
4
7
4
1
74
cos
74
cos
cos7sin4
2
2
2
2
2
22
C
tgx
tgx
C
t
t
C
t
t
t
dt
t
dt
dt
x
dx
ttgx
xtg
x
dx
xx
dx
+
+
=+
+
=
=+
+
=
=
=
=
=
=
=
=