Интегрирование тригонометрических функций. Цибенова Р.В - 4 стр.

      Если оба показателя степени n и m нечетны, то как                                                1 − sin 2 x + cos 4 x
лучше производить «отношение» ? (у которого показатель      путем функция          R(sin x, cos x) =                         будет
                                                                                                          sin 2 x + cos x
степени больше или меньше)
                                                            называться рационально-тригонометрическая.
                                                                   Значит рационально-тригонометрическая функция –
         Вычислите:
                                                            функция полученная в результате рациональных действий
                          b) ∫ sin 3 x ⋅ cos 47 xdx         над sinx и cosx (и действ.числами). А также выражениями,
                           (Ответ в §7).                                                                     tgx + tg 2 x
                                                            содержащими: tgx, ctgx, sin2x…Например, f ( x) =
                                                                                                               1 − tgx
   9. РЕШИТЕ, пользуясь блок-схемами I и II:                можно записать как функцию вида R (sin x, cos x)
                                                            следующим образом:
             dx                             dx
  a) ∫                           b) ∫
         5 + 4 sin x                    1 + cos2 x                          sin x sin 2 x
                                     1                                            +
         sin 3 x                   −                        tgx + tg x cos x cos 2 x (sin x cos x + sin 2 x) cos x
                                                                    2

  c) ∫           dx = ∫ sin 3 x cos x dx
                                     2                                   =                =                          =
          cos x                                               1 − tgx              sin x    cos 2
                                                                                                  x (cos x − sin x )
                                                                               1−
                                                                                   cos x
  d ) ∫ cos 4 xdx                 e) ∫ cos2 x ⋅ sin 4 xdx
                                                               sin x ⋅ cos x + sin x
                                                                                  2

         Выполните контрольное задание из §6.               =                         .
                                                              cos 2 x − cos x ⋅ sin x

                                                                  При интегрировании тригонометрических функций
          §1. РАЦИОНАЛЬНО – ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
                        ФУНКЦИИ                             будем рассматривать интегралы вида ∫ R (sin x, cos x)dx , где
                                                            R(sin x, cos x) рационально-тригонометрическая функция.
                                                            Интегралами указанного вида являются, например,
      Для      изучения     темы   «Интегрирование                                                                    5
                                                               dx
тригонометрических функций» рассмотрим понятие              ∫ sin x , ∫ sin x cos xdx . Является ли интеграл ∫ sin 4 x cos xdx
                                                                           2     3                                        3

рационально-тригонометрических функций. Например

R (u, v) =
           1 − u2 + u4
                       получается в результате выполнения
                                                            интегралом вида         ∫ R(sin x, cos x)dx ?     Нет , т.к. под
              u2 + v                                        интегралом стоит функция, не рациональная относительно
над u и v некоторого числа рациональных действий:           sinx и cosx.
сложения, вычитания, умножения и деления. Если в этом
выражении положить u=sinx, v=cosx, то полученная таким


                                           4                                   5