Интегрирование тригонометрических функций. Цибенова Р.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

12 13
§4. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
dxxx
mn
∫
cossin
Различные случаи интегрирования такого вида
указаны в блок – схеме II, покажем на примерах:
Пример 1. Случай:
)0(12 ≥+= kkm - нечетное число, n
– рац.число (R).
∫
xdxx
52
cossin
1) n=2 – рац., а m = 5 – нечетное, то выполним
преобразование:
xxx coscoscos
45
= («отщепили» cosx) =
xxxx cos)sin1(cos)(cos
2222
−==
.
2) Заменим
∫∫
−= xdxxxxdxx cos)sin1(sincossin
22252
3) Применим подстановку: sinx=t, cosx dx=dt
.
75
2
3
)2(
)21()1(cos)sin1(sin
753
642
422222222
C
ttt
dtttt
dttttdtttdxxxx
++−=+−=
=+−=−=−
∫
∫∫∫
4) Вернемся к старой переменной x:
.sin
7
1
sin
5
2
sin
3
1
cossin
75352
Cxxxxdxx ++−=
∫
Пример 2. Случай:
)0(12 ≥+= kkn -нечетное число,
m-рац.число (R).
Рассмотрим:
dxxx
∫
⋅ cossin
7
1) n=7 – нечетное число, m=1/2 – рац.число.
Выполним преобразования:
xx
xxxотщепилиxxx
sin)cos1(
sin)(sin)sin"("sinsinsin
32
3267
−=
===
2) Заменим
∫
∫
−=⋅ .sincos)cos1(cossin
2
1
32
2
1
7
dxxxxdxxx
3) Используем подстановку: cosx=t; sinx dx=-dt
.)
15
1
11
3
7
3
3
1
(2
15
2
11
6
7
6
3
2
)33(
)331(
)1(sincos)cos1(
642
2
3
2
15
2
11
2
7
2
3
2
13
2
9
2
5
2
1
2
1
642
2
1
32
2
1
32
Ctttt
Ctttt
dttttt
dttttt
dtttdxxxx
+−+−−=
=+
−+−−=
=−+−−=
=−+−−=
=−−=−
∫
∫
∫∫
4) Вернемся к старой переменной x:
Cxxxx
dxxx
+
−+−−=
=⋅
∫
642
2
3
2
1
7
cos
15
1
cos
11
3
cos
7
3
3
1
cos2
cossin
Пример 3. Случай: m и n –четные числа,
положительные (ЧП).
dxxx
∫
⋅
42
cossin
.
1) n=2, m=4 – четные положительные числа, поэтому
выполним преобразования: 
                                          ∫ sin                              sin 7 x = sin 6 xsin x (" отщепили"sin x) = (sin 2 x)3 sin x =
                                                  n
          §4. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА                          x cos m x dx
                                                                             = (1 − cos2 x)3 sin x
                                                                                   2) Заменим
                                                                                                                1                                      1
     Различные случаи интегрирования такого                          вида
                                                                                   ∫ sin       x ⋅ cos x dx = ∫ (1 − cos x) cos x sin x dx.
                                                                                           7                    2                              2   3   2
указаны в блок – схеме II, покажем на примерах:
                                                                                  3) Используем подстановку: cosx=t; sinx dx=-dt
     Пример 1. Случай: m = 2k + 1(k ≥ 0) - нечетное число, n                                                                 1                                   1

                                                                                   ∫ (1 − cos                  x) cos x sin x dx = − ∫ (1 − t ) t dt =
                                                                                                           2        3        2                             2 3   2
– рац.число (R).
     ∫ sin
             2           5
                  x cos xdx                                                                                                               1

     1) n=2 – рац., а m = 5 – нечетное, то выполним                                = − ∫ (1 − 3t + 3t − t )t dt =
                                                                                                               2         4           6    2

преобразование: cos5 x = cos4 x cos x («отщепили» cosx) =                                          1                5            9       13

= (cos x) cos x = (1 − sin x) cos x .
      2   2                      2   2
                                                                                   = − ∫ (t − 3t + 3t − t )dt =
                                                                                                   2                2            2        2

     2) Заменим
                                                                                        2 32 6 72 6 112  2 2
                                                                                                            15

        ∫ sin x cos xdx =∫ sin x(1 − sin x) cos xdx                                = − t − t + t − t  + C =
             2     5          2         2  2


     3) Применим подстановку: sinx=t, cosx dx=dt                                       3     7    11    15 

     ∫ sin x(1 − sin x) cos x dx = ∫ t (1 − t ) dt = ∫ t (1 − 2t + t )dt =
          2         2  2              2      2 2        2       2   4                          3
                                                                                          1 3      3     1
                                                                                   = −2t ( − t 2 + t 4 − t 6 ) + C.
                                                                                               2

                            t 3 2t 5 t 7                                                  3 7     11    15
       = ∫ (t − 2t + t )dt = −
              2      4       6
                                    + + C.                                        4) Вернемся к старой переменной x:
                            3    5   7                                                                         1
      4) Вернемся к старой переменной x:
                                                                                   ∫ sin       x ⋅ cos x dx =
                                                                                           7                   2
                   1 3        2       1
∫ sin x cos xdx = 3 sin x − 5 sin x + 7 sin x + C.
     2       5                   5         7
                                                                                                       3
                                                                                             1 3          3         1       
                                                                                   = −2 cos x − cos 2 x + cos 4 x − cos 6 x  + C
                                                                                                       2

    Пример 2. Случай: n = 2k + 1 (k ≥ 0) -нечетное число,                                    3 7         11        15       
m-рац.число (R).
                                                                                 Пример 3. Случай:                                            m и n –четные числа,
    Рассмотрим: ∫ sin 7 x ⋅ cos x dx                                         положительные (ЧП).
     1) n=7 – нечетное число, m=1/2 – рац.число.
                                                                                  ∫ sin x ⋅ cos x dx .
                                                                                       2       4

     Выполним преобразования:
                                                                                 1) n=2, m=4 – четные положительные числа, поэтому
                                                                             выполним преобразования:

                                         12                                                                         13

Страницы