Интегрирование тригонометрических функций. Цибенова Р.В - 8 стр.

UptoLike

Рубрика: 

12 13
§4. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
dxxx
mn
cossin
Различные случаи интегрирования такого вида
указаны в блоксхеме II, покажем на примерах:
Пример 1. Случай:
)0(12 += kkm - нечетное число, n
рац.число (R).
xdxx
52
cossin
1) n=2 – рац., а m = 5 – нечетное, то выполним
преобразование:
xxx coscoscos
45
= отщепили» cosx) =
xxxx cos)sin1(cos)(cos
2222
==
.
2) Заменим
= xdxxxxdxx cos)sin1(sincossin
22252
3) Применим подстановку: sinx=t, cosx dx=dt
.
75
2
3
)2(
)21()1(cos)sin1(sin
753
642
422222222
C
ttt
dtttt
dttttdtttdxxxx
++=+=
=+==
∫∫
4) Вернемся к старой переменной x:
.sin
7
1
sin
5
2
sin
3
1
cossin
75352
Cxxxxdxx ++=
Пример 2. Случай:
)0(12 += kkn -нечетное число,
m-рац.число (R).
Рассмотрим:
dxxx
cossin
7
1) n=7 – нечетное число, m=1/2 – рац.число.
Выполним преобразования:
xx
xxxотщепилиxxx
sin)cos1(
sin)(sin)sin"("sinsinsin
32
3267
=
===
2) Заменим
= .sincos)cos1(cossin
2
1
32
2
1
7
dxxxxdxxx
3) Используем подстановку: cosx=t; sinx dx=-dt
.)
15
1
11
3
7
3
3
1
(2
15
2
11
6
7
6
3
2
)33(
)331(
)1(sincos)cos1(
642
2
3
2
15
2
11
2
7
2
3
2
13
2
9
2
5
2
1
2
1
642
2
1
32
2
1
32
Ctttt
Ctttt
dttttt
dttttt
dtttdxxxx
++=
=+
+=
=+=
=+=
==
4) Вернемся к старой переменной x:
Cxxxx
dxxx
+
+=
=
642
2
3
2
1
7
cos
15
1
cos
11
3
cos
7
3
3
1
cos2
cossin
Пример 3. Случай: m и n –четные числа,
положительные (ЧП).
dxxx
42
cossin
.
1) n=2, m=4 – четные положительные числа, поэтому
выполним преобразования: