Интегрирование тригонометрических функций. Цибенова Р.В - 10 стр.

                 dx              1        2
                                                                                                     ∫ tg
                                                                                                            m
                                                                                                                xdx, ∫ ctg m xdx (m ≥ 2 ) как в §3
         ∫ sin 4 x cos 2 x = − 3tg 3 x − tgx + tgx + C =                   Для вычисления
                                                                     в случае (в) можно применить подстановку tgx=t, ctgx=t или
             1                                                                           1                    1
         = − ctg 3 x − 2ctgx + tgx + C.                              формулы: tg 2 x =    2
                                                                                             − 1, ctg 2 x =         − 1.
             3                                                                         cos x                sin 2 x

                                                                                                    x
                                                                                         ∫ tg
                                                                                                3
                                                                           Пример:                    dx
            §5. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА             ∫ sin ax cos bx dx,                                      2

              ∫ cos ax ⋅ cos bxdx, ∫ sin ax sin bxdx, a ≠ b                1 способ решения:
                                                                                              x        x
                                                                                           tg   =  t ,   = arctgt , x = 2arctgt
                                                                                3 x           2        2
      В указанных интегралах подинтегральная функция
                                                                            ∫ tg 2 dx =                         2dt
                                                                                                                                 =
                                                                                                         dx =
преобразуется с помощью формул:                                                                               1+ t2
                      1                                                              dt                  t                    2t
     sin ax ⋅ cos bx =   [sin(a − b) x + sin(a + b) x]                     = 2∫ t 3         = 2∫  t −      2 
                                                                                                               dt = 2∫ tdt − ∫       dt =
                      2                                                             1+ t 2
                                                                                                  1+ t                       1+ t2
                       1
     cos ax ⋅ cos bx = [cos(a − b) x + cos(a + b) x ]                      = t 2 − ln 1 + t 2 + C = tg 2
                                                                                                                 x             x
                                                                                                                   − ln1 + tg 2  + C =
                       2                                                                                         2             2
                      1
     sin ax ⋅ sin bx = [cos(a − b) x − cos(a + b) x ]                      = tg 2
                                                                                    x
                                                                                      − ln
                                                                                             1               x          x
                                                                                                   + C = tg 2 + 2 ln cos + C.
                      2                                                             2            x           2          2
     Например,                                                                             cos 2
                                                                                                 2
                           1
     ∫ cos 5 x ⋅ cos xdx = 2 ∫ [cos(5 x − x) + cos(5x + x)]dx =            2 способ решения:
       1                                                                       3 x          3 x  x           2 x   x  x
     =   ∫ [cos 4 x + cos 6 x]dx = 1 ∫ cos 4 xdx + 1 ∫ cos 6 xdx =         ∫ tg 2 dx = 2∫ tg 2 d  2  = ∫ tg 2 tg 2 d  2  =
       2                           2               2
       1 sin 4 x 1 sin 6 x          1           1                                                
     =           +            + C = sin 4 x + sin 6 x + C.                         x 1            x
                                                                                                               x 1        x
       2 4          2 6             8          12                          = 2 ∫ tg           − 1d   = 2∫ tg           d  −
                                                                                   2  cos 2 x     2          2 cos 2 x  2 
                                                                                                 
                                                                                            2                          2



                                      16                                                   17