Интегрирование тригонометрических функций. Цибенова Р.В - 9 стр.

         sin 2 x ⋅ cos 4 x = (sin 2 x ⋅ cos 2 x) cos 2 x =                   Пример 4. Случай: n+m=p, где р – четное
                                                        2
                                                                       отрицательное число (ЧО – обозначение в блок-схеме II).
                                   1         1 + cos 2 x                                    dx
         = (sin x ⋅ cos x) cos x =  sin 2 x 
                                2    2
                                                           =                 Дан ∫ 4                   = ∫ sin − 4 x cos − 2 x dx .
                                   2              2                                              2
                                                                                       sin x cos x
           1                                                                 1) Имеем n=-4, m=-2, a=m+n=-6; -6 – четное
         = sin 2 2 x(1 + cos 2 x)                                      отрицательное число.
           8                                                                 Преобразования (см. блок-схему II):
       Здесь применили формулы понижения степени:                                                   sin −4 x ⋅ cos −2 − 6 x sin −4 x cos −6 x
                    1                   1 + cos 2 x                          sin − 4 x cos − 2 x =                         =                      =
       sin x cos x = sin 2 x, cos 2 x =             .                                                     cos − 6 x           cos − 4 x cos − 2 x
                    2                        2                                                                                                2
       2) Заменим                                                                             1                    1    1                 1         1
                                                                               = tg − 4 x      6
                                                                                                     = tg − 4 x     4    2
                                                                                                                              = tg − 4 x      2      2
                                                                                                                                                         =
                                1                                                         cos x                 cos x cos x               cos x  cos x
 ∫ sin       x ⋅ cos 4 x dx =     ∫ sin 2 2 x(1 + cos 2 x) dx =
         2

                                8                                                                            1
                                                                               = tg − 4 x(1 + tg 2 x) 2           .
     1                  1                                                                                cos 2 x
 =     ∫              +   ∫
             2
         sin   2 x dx       sin 2 2 x cos 2 x dx.
     8                  8                                                       2) Заменим
    3) Первый интеграл такой же, т.к. n=2 – четное                                                                                      1
                                                                                 ∫ sin x cos x dx = ∫ tg x(1 + tg x) cos 2 x dx .
                                                                                       −4         −2                −4      2     2

положительное число, m=0. Во втором подинтегральная
функция имеет вид R(sin x) cos x (см. блок-схему I).                           3) Используем подстановку:
Следовательно, имеем                                                                  dx
                                                                       tgx = t ,             = dt
     1 1 − cos 4 x      1 1                                                         cos2 x
     8 ∫    2
                   dx + ⋅ ∫ sin 2 2 xcos 2 x d (2 x) =
                        8 2                                                                                    tgx = t
                                                                                                 dx
                                                                       ∫ tg x(1 + tg x) cos2 x = dx2 = dt = ∫ t (1 + t ) dt =
                                                                           −4           2  2                                  −4        2 2
        1                      1
     = ∫ (1 − cos 4 x)dx + ∫ sin 2 2 x d (sin 2 x) =
       16                     16                                                                           cos x
        1    sin 4 x  1 sin 3 2 x                                                                                           t −3       t −1
     = x−             +               +C =                           = ∫ t (1 + 2t + t )dt = ∫ (t + 2t +1)dt =
                                                                            −4         2     4             −4       −2
                                                                                                                                    +2        +t +C =
       16        4  16 3                                                                                                     3         −1
          x sin 4 x sin 3 2 x                                                1 2
      =     −         +            + C.                                = − 3 − + t + C.
         16    64           48                                              3t      t
                                            x sin 4 x sin 3 2 x                4) Вернемся к старой переменной x:
                    ∫                    =    −        +        + C.
                          2       4
      Итак,           sin   x cos   x dx
                                           16   64       48



                                               14                                              15