ВУЗ:
Составители:
52
дифференцируемы в их общей области определения. Рассмотрим вспо-
могательную функцию
),...,,(...),...,,(
),...,,()(),...,,(
21
2
21
2
2
21
2
1
2
1
21
ххх
f
ххх
f
ххх
f
x
f
ххх
n
n
n
n
n
i
i
n
+++
+=
∑
=ϕ
=
(3.17)
или в более краткой записи
[]
)).(),(()()(
2
1
1
xfxfx
f
x
n
i
=
∑
=ϕ
=
Очевидно, что все слагаемые в правой части положительны (т. к.
это квадраты) и минимальное значение функции ϕ (х) будет равно ну-
лю. С другой стороны ϕ (х) может быть равно нулю только когда
каж-
дое
слагаемое окажется равным нулю, т. е. тогда, когда будет удовле-
творена исходная система уравнений. Таким образом, если мы найдем
условия, при которых функция ϕ (х) достигает минимума (равного ну-
лю), то мы одновременно найдем решение нашей системы уравнений.
Классический способ отыскания минимума ϕ (х) для нас, очевидно, не
пригоден, т
. к. приравнивая нулю частные производные по каждой пе-
ременной, мы вновь приходим к необходимости решения системы не-
линейных уравнений, причем эта система уравнений может оказаться
даже сложней, чем исходная система. Поэтому для отыскания миниму-
ма ϕ (х) используются специальные приемы. Одним из таких приемов и
является
метод градиента, или метод наискорейшего спуска.
Предположим, что система (3.15) имеет единственное решение.
Этому решению будет соответствовать единственный минимум функ-
ции ϕ (х)
. Если мы представим себе двумерный случай, то геометриче-
ски ϕ (х)
будет описывать некоторую чашу, наинизшая точка которой и
соответствует исходному решению (рис. 3.3).
Градиентом функции ϕ (х) в данной точке М
о
называется век-
тор, расположенный в плоскости аргументов (х
1
, х
2
), имеющий своим
началом эту точку М
о
(х
10
, х
20
) и имеющий на координатные оси, равные
значениям частных производных функции ϕ (х)
в этой точке М
о
:
. )
М
()
М
(
) grad(
0
1
2
0
1
1
М0
ji
хх
⋅
ϕ
+⋅
ϕ
=
ϕ
Здесь i и j – орты координатных осей ОХ
1
и ОХ
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
