Математическое моделирование в системах электроснабжения. Даценко В.А - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

63
Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому для ее реше-
ния можно воспользоваться классическим методом отыскания условно-
го экстремума функций нескольких переменных. При этом полагаем,
что функции f(x
1
, x
2
, …, x
n
) и q
i
(x
1
, x
2
, …, x
n
) (i = 1, 2, …, m) непрерыв-
ны вместе со своими первыми частными производными. Для решения
задачи составим функцию
),,...,,(),...,,(),..,,,...,,(
21
1
212,121
xxx
q
xxx
f
xxx
F
n
i
m
i
inmn
∑
λ
+=
λλλ
+
(4.3)
определим частные производные
),...,2,1( ),,...,2,1( mi
d
dF
nj
dx
dF
ij
=
λ
=
и приравняем их нулю. В результате получим систему уравнений
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
===
λ
==
∑
λ
+=
=
.,...,2,1 ,0),...,,(
,,...,2,1 ,0
21
1
mi
xxx
q
d
dF
nj
dx
dq
dx
df
dx
dF
n
i
i
j
i
m
i
i
jj
(4.4)
Функция (4.3) называется функцией Лагранжа, а числа
λ
i
–
множителями Лагранжа. Если функция Z = f (x
1
, x
2
, …, x
n)
в точке
),...,,(
)0()0(
2
)0(
1
)0(
хххх
n
= имеет экстремум, то существует такой вектор
),...,,(
)0()0(
2
)0(
1
)0(
λλλ
=
λ
m
, что точка
λλλ
)0()0(
2
)0(
1
)0()0(
2
)0(
1
,...,,,,...,,
mn
ххх
явля-
ется решением системы (4.4). Следовательно, решая систему (4.4), по-
лучаем множество точек, в которых функция Z может иметь экстре-
мальные значения. При этом неизвестен способ определения точек гло-
бального минимума или максимума. Однако если решения системы
найдены, то для определения глобального минимума (максимума) дос-
таточно найти значения функции в соответствующих точках.
Если для
функции Z = f (x
1
, x
2
, …, x
n
)
и q
i
(x
1
, x
2
, …, x
n
)
(i = 1,2, .., m)
существуют
вторые частные производные и они непрерывны, то можно вывести дос-
таточное условие существования локального экстремума функции в
точке, являющейся решением системы (4.4). Однако практическое зна-
чение этого условия невелико.
Метод множителей Лагранжа имеет ограниченное применение, т.
к. система (4.4), как правило, имеет несколько решений. Рассмотрим
примеры применения метода множителей Лагранжа.

Страницы