Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
11
U
xx
+ 2a
12
U
xy
+ a
22
U
yy
+ F (x, y, U, U
x
, U
y
) = 0, U = U (x, y) ,
a
11
dy −(a
12
+
q
a
2
12
− a
11
a
22
)dx = 0,
a
11
dy −(a
12
−
q
a
2
12
− a
11
a
22
)dx = 0
ψ
1
(x, y) = c
1
, ψ
2
(x, y) = c
2
.
ξ = ψ
1
(x, y), η = ψ
2
(x, y),
U(ξ, η) = U(x, y)
˜a
11
U
ξξ
+ 2˜a
12
U
ξη
+ ˜a
22
U
ηη
+
˜
F (ξ, η, U, U
ξ
, U
η
) = 0, U = U (ξ, η) .
a
2
12
− a
11
a
22
> 0 ψ
1
(x, y) ψ
2
(x, y)
˜a
11
= ˜a
22
= 0,
2˜a
12
U
ξη
+
˜
F (ξ, η, U, U
ξ
, U
η
) = 0.
ξ =
α + β η = α − β,
U
αα
− U
ββ
+ Φ(α, β, U, U
α
, U
β
) = 0,
   Ÿ1. Ïðèâåäåíèå óðàâíåíèé ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.

   Äëÿ ïðèâåäåíèÿ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó óðàâíåíèÿ:

a11 Uxx + 2a12 Uxy + a22 Uyy + F (x, y, U, Ux , Uy ) = 0,        U = U (x, y) ,

íåîáõîäèìî ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê:
                                    q
                 a11 dy − (a12 +      a212 − a11 a22 )dx = 0,
                                    q
                  a11 dy − (a12 −       a212 − a11 a22 )dx = 0
è íàéòè èíòåãðàëû ψ1 (x, y) = c1 , ψ2 (x, y) = c2 . Ïðîèçâåäÿ
çàìåíó íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ: ξ = ψ1 (x, y), η = ψ2 (x, y),
U (ξ, η) = U (x, y) â èñõîäíîì óðàâíåíèè, ïîëó÷èì óðàâíåíèå:

ã11 Uξξ + 2ã12 Uξη + ã22 Uηη + F̃ (ξ, η, U, Uξ , Uη ) = 0,    U = U (ξ, η) .

Çíàê ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ îïðåäåëÿåò òèï óðàâíåíèÿ.
Åñëè a212 − a11 a22 > 0, ò.å. ψ1 (x, y) è ψ2 (x, y) âåùåñòâåííû è
ôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìû, òî ã11 = ã22 = 0, è óðàâíåíèå ïðè-
ìåò âèä:
                  2ã12 Uξη + F̃ (ξ, η, U, Uξ , Uη ) = 0.
Ýòî - êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà.
×àñòî ïîëüçóþòñÿ âòîðîé êàíîíè÷åñêîé ôîðìîé. Ïîëîæèâ ξ =
α + β , η = α − β, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ

                  Uαα − Uββ + Φ(α, β, U, Uα , Uβ ) = 0,

íàçûâàåìûì âòîðîé êàíîíè÷åñêîé ôîðìîé óðàâíåíèé ãèïåðáî-
ëè÷åñêîãî òèïà.

                                        3

Страницы