Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ξ = x + y, η = 3x − y,
U
x
= U
ξ
+3U
η
, U
y
= U
ξ
−U
η
, U
xx
= U
ξξ
+6U
ξη
+9U
ηη
, U
yy
=
U
ξξ
− 2U
ξη
+ U
ηη
, U
xy
= U
ξξ
+ 2U
ξη
− 3U
ηη
U
ξη
+
1
2
U
η
= 0.
∂
∂η
[u
ξ
+
1
2
U] = 0.
η ξ : U
ξ
+
1
2
U = f(ξ) f
U
0
= ϕ(η)e
−
ξ
2
ϕ(η)
ξ
ξ
U(ξ, η) = ϕ(η)e
−
ξ
2
+ φ(ξ), x, y
U(x + y) = ϕ(3x −y)e
−
x+y
2
+ φ(x + y).
U
xx
+ 4U
xy
+ 5U
yy
+ U
x
+ 2U
y
= 0.
a
11
= 1, a
12
= 2, a
22
= 5.
(2x −y) ±ix =
c
1, 2
. ξ = 2x −y, η = x,
U
x
= 2U
ξ
+ U
η
, U
y
= −U
ξ
, U
xx
= 4U
ξξ
+ 4U
ξη
+ U
ηη
, U
yy
=
U
ξξ
, U
xy
= − 2U
ξξ
−U
ξη
U
ξξ
+ U
ηη
+ U
η
= 0
Äåëàÿ çàìåíó ξ = x + y, η = 3x − y, âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíûå:
Ux = Uξ + 3Uη , Uy = Uξ − Uη , Uxx = Uξξ + 6Uξη + 9Uηη , Uyy =
Uξξ − 2Uξη + Uηη , Uxy = Uξξ + 2Uξη − 3Uηη è, ïîäñòàâëÿÿ èõ â
èñõîäíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì:
                                  1
                         Uξη + Uη = 0.
                                  2
Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                     ∂
çàïèøåì åãî â âèäå ∂η  [uξ + 12 U ] = 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûðàæå-
íèå, ñòîÿùåå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ íå çàâèñèò îò ïåðåìåííîé
η è ìîæåò çàâèñåòü ëèøü îò ξ : Uξ + 12 U = f (ξ), ãäå f ïðî-
èçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ óêàçàííîãî àðãóìåíòà. Ïîëó÷åííîå óðàâíå-
íèå - ëèíåéíîå, åãî ðåøåíèå ìîæíî çàïèñàòü êàê ñóììó îáùåãî
                                                 ξ
ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî, ðàâíîãî U0 = ϕ(η)e− 2 , ãäå ϕ(η) - ïðî-
èçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî, êîòî-
ðîå ïðè ïðîèçâîëüíîé ïðàâîé ÷àñòè, çàâèñÿùåé îò ξ åñòü ïðî-
ñòî íåêîòîðàÿ (ïðîèçâîëüíàÿ) ôóíêöèÿ ξ . Òàêèì îáðàçîì, îá-
ùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñîäåðæèò äâå ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè
                                 ξ
è èìååò âèä U (ξ, η) = ϕ(η)e− 2 + φ(ξ), èëè, â ïåðåìåííûõ x, y :
                        x+y
U (x + y) = ϕ(3x − y)e− 2 + φ(x + y).
    Ï ð è ì å ð 2. Ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó óðàâíåíèå:

               Uxx + 4Uxy + 5Uyy + Ux + 2Uy = 0.

     Ð å ø å í è å. a11 = 1, a12 = 2, a22 = 5. Èíòåãðàëû óðàâ-
íåíèé õàðàêòåðèñòèê êîìïëåêñíû è èìåþò âèä: (2x − y) ± ix =
c1, 2 . Äåëàÿ çàìåíó ξ = 2x − y, η = x, âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíûå:
Ux = 2Uξ + Uη , Uy = −Uξ , Uxx = 4Uξξ + 4Uξη + Uηη , Uyy =
Uξξ , Uxy = −2Uξξ − Uξη è ïîäñòàâëÿÿ èõ â èñõîäíîå óðàâíåíèå,
ïîëó÷èì Uξξ + Uηη + Uη = 0 - óðàâíåíèå ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà.

                                5

Страницы