Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
2
12
− a
11
a
22
= 0
ξ = ψ
1
(x, y), η = η(x, y), U(ξ, η) = U(x, y),
η = η(x, y) ξ = ψ
1
(x, y).
˜a
11
= 0 ˜a
12
= 0
2˜a
22
U
ηη
+
˜
F (ξ, η, U, U
ξ
, U
η
) = 0,
U
t
= a
2
U
xx
.
ξ =
1
2
(ψ
1
(x, y) + ψ
2
(x, y)) = Re ψ
1
(x, y),
η =
1
2
(ψ
1
(x, y) − ψ
2
(x, y)) = Im ψ
1
(x, y),
U
ξξ
+ U
ηη
+ Φ(ξ, η, U, U
ξ
, U
η
) = 0.
U
xx
+ 2U
xy
− 3U
yy
+ 2U
x
+ 6U
y
= 0.
a
11
= 1, a
12
= 1, a
22
= −3.
x + y = c
1
, 3x − y = c
2
.
    Ïðè a212 − a11 a22 = 0 èìååòñÿ ëèøü îäèí èíòåãðàë. Ïîëîæèì
â ýòîì ñëó÷àå ξ = ψ1 (x, y), η = η(x, y), U (ξ, η) = U (x, y), ãäå
η = η(x, y) - ëþáàÿ ôóíêöèÿ, íåçàâèñèìàÿ îò ξ = ψ1 (x, y). Ïðè
ýòîì îáðàòÿòñÿ â íóëü ñëåäóþùèå êîýôôèöèåíòû ïðè ñòàðøèõ
ïðîèçâîäíûõ: ã11 = 0 è ã12 = 0 è ïîëó÷èì êàíîíè÷åñêèé
âèä óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà:

                 2ã22 Uηη + F̃ (ξ, η, U, Uξ , Uη ) = 0,

ê êîòîðîìó, â ÷àñòíîñòè, ïðèíàäëåæèò óðàâíåíèå òåïëîïðîâîä-
íîñòè:
                          Ut = a2 Uxx .
   Åñëè çíàê ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ îòðèöàòåëåí, òî èíòå-
ãðàëû óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê áóäóò êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåíû
è çàìåíà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ
               1
           ξ = (ψ1 (x, y) + ψ2 (x, y)) = Re ψ1 (x, y),
               2
                1
            η = (ψ1 (x, y) − ψ2 (x, y)) = Im ψ1 (x, y),
                2
ïðèâåäåò óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîé ôîðìå óðàâíåíèé ýëëèïòè-
÷åñêîãî òèïà:

                Uξξ + Uηη + Φ(ξ, η, U, Uξ , Uη ) = 0.

   Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó è íàéòè îáùåå
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ:

               Uxx + 2Uxy − 3Uyy + 2Ux + 6Uy = 0.

   Ð å ø å í è å. a11 = 1, a12 = 1, a22 = −3. Èíòåãðàëû
óðàâíåíèé õàðàêòåðèñòèê èìåþò âèä: x + y = c1 , 3x − y = c2 .

                                   4

Страницы