Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(x, y) = ϕ(x + y −cos x) + ψ(x + cos x − y).
U(x, y) = ϕ(xy) ln y + ψ(xy).
U(x, y) = ϕ(
√
x +
√
y) + ψ(
√
x −
√
y).
U(x, y) = ϕ(x + 2
√
y) + ψ(x − 2
√
y) y > 0.
U(x, y) = Γ(x, 2
√
−y) y < 0 Γ
∂
∂x
(x
2
∂U
∂x
) = x
2
∂
2
U
∂y
2
.
(x −y)
∂
2
U
∂x∂y
−
∂U
∂x
+
∂U
∂y
= 0.
∂
2
U
∂x∂y
+ y
∂U
∂x
+ x
∂U
∂y
+ xyU = 0.
U (x, t) |
t=0
=
0, |x| > l ,
(l −x)/100, 0 < l < x,
(l + x)/100, −l < x < 0,
l
(0, `)
a
100
, (−∞, 0)
(`, +∞) a
(0, `)
                     ÎÒÂÅÒÛ È ÓÊÀÇÀÍÈß.

    7. U (x, y) = ϕ(x + y − cos x) + ψ(x + cos x − y).
    8. U (x, y) = ϕ(xy) ln y + ψ(xy).
                    √      √        √    √
    9. U (x, y) = ϕ( x + y) + ψ( x − y).
                           √             √
    10. U (x, y) = ϕ(x + 2 y) + ψ(x − 2 y) ïðè y > 0.
                   √
U (x, y) = Γ(x, 2 −y) ïðè y < 0 , ãäå Γ - ïðîèçâîëüíàÿ
ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ.

                            Íàéòè ðåøåíèÿ.

          ∂    2 ∂U        2 ∂2U
   11.   ∂x (x   ∂x )  = x   ∂y 2 .
                     2
                    ∂ U
   12.   (x − y) ∂x∂y    − ∂U       ∂U
                             ∂x + ∂y =   0.
          ∂2U        ∂U       ∂U
   13.   ∂x∂y + y ∂x + x ∂y + xyU        = 0.
   14. Íàéòè çàêîí êîëåáàíèÿ áåñêîíå÷íîé ñòðóíû, åñëè íà-
÷àëüíîå îòêëîíåíèå çàäàåòñÿ ðàâåíñòâàìè:
                             
                             
                             
                             
                                   0,        |x| > l,
           U (x, t) |t=0   = (l − x)/100, 0 < l < x,
                            
                            
                            
                              (l + x)/100, −l < x < 0,
ãäå l - çàäàííûé îòðåçîê. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü è âíåøíÿÿ âîç-
ìóùàþùàÿ ñèëû ðàâíû íóëþ.
    15. Íàéòè çàêîí ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé áåñêîíå÷íîé ñòðóíû,
åñëè íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå âî âñåõ òî÷êàõ ðàâíî íóëþ, íà÷àëü-
                                      a
íàÿ ñêîðîñòü íà ó÷àñòêå (0, `) ðàâíà 100 , a íà ó÷àñòêàõ (−∞, 0)
è (`, +∞) ðàâíà íóëþ. Çäåñü a - ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, ôèãóðè-
ðóþùàÿ â óðàâíåíèè ñòðóíû, (0, `) - çàäàííûé îòðåçîê.



                                    7

Страницы