Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∂
2
U
∂t
2
= a
2
∂
2
U
∂x
2
,
(−h, 0)
−
a
100
, (0, h) +
a
100
;
U(x, y) =
ϕ(x−y)+ψ(x+y)
x
.
V, V = xU.
U(x, y) =
ϕ(x)−ψ(y)
x−y
.
V, V = (x−y)U.
U(x, y) = e
−
x
2
+y
2
2
[ϕ(x) + ψ(y)].
ϕ(x)
ϕ(x) =
0 | x |≥ `,
`−x
100
0 ≤ x < `,
`+x
100
−` < x < 0,
U(x, t) =
ϕ(x−at)+ϕ(x+at)
2
.
ψ(z)
ψ(z) =
0 z < 0,
z
200
0 ≤ z ≤ `,
`
200
z > `,
U(x, t) =
ψ(x + at) − ψ(x − at).
   16. Ðåøèòü ìåòîäîì õàðàêòåðèñòèê óðàâíåíèå êîëåáàíèÿ áåñ-
êîíå÷íîé ñòðóíû
                         ∂ 2U        2
                                   2∂ U
                               = a      ,
                         ∂t2        ∂x2
åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò òî÷êàì ñòðóíû íà ó÷àñòêå (−h, 0) áû-
                       a                                      a
ëà ïðèäàíà ñêîðîñòü − 100 , à íà ó÷àñòêå (0, h) - ñêîðîñòü + 100 ;â
îñòàëüíûõ òî÷êàõ ñòðóíû íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ. Íà-
÷àëüíîå îòêëîíåíèå ðàâíî íóëþ âî âñåõ òî÷êàõ ñòðóíû.

                    ÎÒÂÅÒÛ È ÓÊÀÇÀÍÈß.
                    ϕ(x−y)+ψ(x+y)
   11. U (x, y) =         x       .
Ó ê à ç à í è å: ââåñòè íîâóþ ôóíêöèþ V, ïîëîæèâ V = xU.
                    ϕ(x)−ψ(y)
   12. U (x, y) =      x−y    .
Ó ê à ç à í è å: ââåñòè íîâóþ ôóíêöèþ V, ïîëîæèâ V = (x − y)U.
                       x2 +y 2
   13. U (x, y) = e−      2      [ϕ(x) + ψ(y)].
   14. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç ϕ(x) ôóíêöèþ, çàäàííóþ ðàâåí-
ñòâàìè                
                      0
                      
                      
                                 | x |≥ `,
                        `−x
               ϕ(x) =  100      0 ≤ x < `,
                      
                       `+x
                        100
                                 −` < x < 0,
òî çàêîí êîëåáàíèé ñòðóíû çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                ϕ(x−at)+ϕ(x+at)
   U (x, t) =          2        .
   15. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç ψ(z) ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ ðà-
âåíñòâàìè              
                       
                        0        z < 0,
                       
                          z
                ψ(z) = 200        0 ≤ z ≤ `,
                       
                       
                        `        z > `,
                         200
òî çàêîí êîëåáàíèÿ ñòðóíû çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: U (x, t) =
ψ(x + at) − ψ(x − at).

                                    8

Страницы