Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(r, t) = 8U
0
∞
X
n=1
J
0
³
µ
n
r
R
´
µ
3
n
J
1
(µ
n
)
exp
Ã
−
µ
2
n
a
2
R
2
t
!
.
∂
2
U
∂r
2
+
1
r
∂U
∂r
+
1
a
2
∂
2
U
∂z
2
= 0,
U|
r=0
=
U|
z=0
= 0, U
z+h
= f(r) 0 < r < R.
U(r, t) =
2
R
2
∞
X
n=1
sh
³
µ
n
z
R
´
sh
³
µ
n
h
R
´
J
0
³
µ
n
r
R
´
J
2
1
(µ
n
)
R
Z
0
ρφ(ρ)J
o
µ
µ
n
ρ
R
dρ
µ
1
, µ
2
, µ
3
, ... J
0
(µ) = 0.
U(r, t) =
2
R
2
∞
X
n=1
sh
³
µ
n
z
R
´
sh
³
µ
n
h
R
´
J
0
³
µ
n
r
R
´
J
2
0
(µ
n
)
R
Z
0
ρφ(ρ)J
o
µ
µ
n
ρ
R
dρ,
µ
1
, µ
2
, µ
3
, ... µJ
1
(x) −
− h
1
RJ
0
(x) = 0.
U(r, t) =
2
R
2
∞
X
n=1
sh
³
µ
n
z
R
´
sh
³
µ
n
h
R
´
J
o
³
µ
n
r
R
´
J
2
1
(µ
n
)
1
1 +
h
2
R
2
µ
2
n
R
Z
0
ρφ(ρ)J
o
µ
µ
n
ρ
R
dρ,
µ
1
, µ
2
, µ
3
, ... xJ
1
(x) −
h
1
RJ
0
(x) = 0.
∂U
∂r
|
r=R
+ h
1
U|
r=R
= 0, h
1
=
h
k
.
U(r, t) =
2
h
∞
X
n=1
sin
nπz
h
J
o
³
π
nir
h
´
J
0
³
π
niR
h
´
h
Z
0
f(t) sin
nπt
h
dt.
127.                                     ³      ´             Ã              !
                                   ∞ J        r
                                   X   0   µ nR               µ2n a2
                 U (r, t) = 8U0                         exp −        t .
                                   n=1     µ3n J1 (µn )        R2
128. Ó ê à ç à í è å. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íåîáõîäèìî îòûñ-
                                  2                 2
êàòü òàêîé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ ∂∂rU2 + 1r ∂U
                                         ∂r
                                            + a12 ∂∂zU2 = 0, êîòî-
ðûé óäîâëåòâîðÿë áû óñëîâèÿì: U |r=0 = êîíå÷íîé âåëè÷èíå,
U |z=0 = 0, Uz+h = f (r) ïðè 0 < r < R.
                               ³       ´     ³        ´
                    ∞ sh µ z J        r ZR        µ     ¶
                  2 X      nR    0 µn R               ρ
       U (r, t) = 2      ³     ´           ρφ(ρ)Jo µn     dρ
                 R n=1 sh µn h J12 (µn )              R
                             R           0

ãäå µ1 , µ2 , µ3 , ... -ïîëîæèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ J0 (µ) = 0.
129.
                        ³    ´   ³      ´
                    ∞ sh µ z J
                    X              µ  r ZR        µ     ¶
                  2       nR   0     nR               ρ
       U (r, t) = 2     ³    ´
                                 2
                                           ρφ(ρ)Jo µn     dρ,
                 R    n=1   sh µn Rh       J0 (µn )                          R
                                                          0

ãäå µ1 , µ2 , µ3 , ... -ïîëîæèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ µJ1 (x) −
− h1 RJ0 (x) = 0.
130.
                 ³    ´   ³      ´
             ∞ sh µ z J
             X              µ  r                              ZR             µ      ¶
           2       nR   o     nR                      1                             ρ
U (r, t) = 2     ³    ´
                          2                           h2 R2
                                                                   ρφ(ρ)Jo       µn   dρ,
            R   n=1   sh µn Rh     J1 (µn ) 1 +        µ2n 0
                                                                                    R

ãäå µ1 , µ2 , µ3 , ...- ïîëîæèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ       xJ1 (x) −
h1 RJ0 (x) = 0.
Ó ê à ç à í è å. Òðåòüå èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðåäûäóùåé
çàäà÷è, çàìåíèòü ñëåäóþùèì: ∂U         |
                                     ∂r r=R
                                            + h1 U |r=R = 0, h1 = hk .
131.
                                             ³        ´
                                             h
                               nπz Jo π h Z
                        ∞              nir
                     2X                                  nπt
          U (r, t) =       sin       ³     ´   f (t) sin     dt.
                     h n=1      h J0 π niR                h
                                                 h        0


                                           72

Страницы