ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
`,
U(ρ, θ, ϕ)
ρ=0
=
(
+U
0
0 ≤ θ ≤
π
2
−U
0
π
2
< θ ≤ π.
.
`,
U(ρ, θ, ϕ)
ρ=0
= U
0
sin
2
θ; (U
0
= const).
ϕ(r, θ) =
³
1 − 2(
1
r
) cos θ + (
1
r
)
2
´
−
1
2
f(x) =
(
0 −1 < x < 0,
1 0 < x < 1.
∂
∂r
(r
2
∂u
∂r
) +
1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂u
∂θ
) = 0
R
f(θ).
r < R = 1 f(θ) = cos
2
θ.
R
u(R, θ, ϕ) = sin 3θ · cos ϕ.
12. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà è ê
ñôåðè÷åñêèì ôóíêöèÿì.
132. Íàéòè çàêîí ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòó-
ðû âíóòðè îäíîðîäíîãî èçîòðîïíîãî øàðà ðàäèóñà `, åñëè íà
ïîâåðõíîñòè øàðà âñå âðåìÿ ïîääåðæèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåì-
ïåðàòóðà:
(
+U0 0 ≤ θ ≤ π2
U (ρ, θ, ϕ)ρ=0 = π .
−U0 2
< θ ≤ π.
133. Íàéòè çàêîí ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòó-
ðû âíóòðè îäíîðîäíî èçîòðîïíîãî øàðà ðàäèóñà `, åñëè íà ïî-
âåðõíîñòè øàðà ïîääåðæèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåìïåðàòóðà:
U (ρ, θ, ϕ)ρ=0 = U0 sin2 θ; (U0 = const).
³ ´− 1
134. Ôóíêöèè ϕ(r, θ) = 1 − 2( 1r ) cos θ + ( 1r )2 2
è
(
0 −1 < x < 0,
f (x) =
1 0 < x < 1.
ðàçëîæèòü â ðÿä ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà.
135. Íàéòè îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà
∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u
(r )+ (sin θ ) = 0
∂r ∂r sin θ ∂θ ∂θ
âíóòðè è âíå ñôåðû ðàäèóñà R, åñëè íà å¼ ïîâåðõíîñòè èñêîìîå
ðåøåíèå èìååò çíà÷åíèå f (θ). Ïðîâåñòè âû÷èñëåíèÿ ïðè
r < R = 1 è ïðè f (θ) = cos θ.
2
136. Íàéòè ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðè øàðà ðàäèóñà R ôóíê-
öèþ, ïðèíèìàþùóþ íà ãðàíèöå øàðà çíà÷åíèå, ðàâíîå
u(R, θ, ϕ) = sin 3θ · cos ϕ.
73
