Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений. Даширабданов В.Д - 2 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

3
Нелинейные и трансцендентные уравнения
Многие задачи механики сводятся к решению
нелинейных алгебраических либо трансцендентных
уравнений. При этом зачастую не удается добиться
точного решения, поэтому используются
итерационные численные методы позволяющие
получить приближенное решение с определенной
степенью точности.
Рассмотрим уравнение в общем виде
F(x) = 0 (1.1)
где F(x) есть многочлен, либо какая-либо функция
от x.
Рис.1
X
0
Y
F(x)
x
0
F(b)
F(a)
b
a
x
1
x
2
4
Корнями такого уравнения являются такие
значения x, при которых удовлетворяется
уравнение (1.1). Графически решением является
точка пересечения графика функции F(x) с осью
абсцисс (см. рис 1).
Обычно решение разбивается на два этапа:
1.Отделение корней.
2.Уточнение корней до заданной точности.
На первом этапе необходимо выделить такой
интервал, на котором существует только один
корень. Это можно сделать, используя график,
выделив, к примеру, участок [a,b], содержащий
точку пересечения графика функции F(x) с осью
абсцисс (см. рис.1). Либо аналитически, используя
следующее условие:
F(a)*F(b)<0 (1.2)
где a и b есть значения x, при которых функция
имеет противоположные знаки.
На втором этапе используются численные
методы: метод Ньютона или метод хорд,
рассматриваемых далее. 
                                3                                                 4

           Нелинейные и трансцендентные уравнения           Корнями такого уравнения являются такие
                                                          значения x, при которых удовлетворяется
       Многие задачи механики сводятся к решению          уравнение (1.1). Графически решением является
 нелинейных алгебраических либо трансцендентных           точка пересечения графика функции F(x) с осью
 уравнений. При этом зачастую не удается добиться         абсцисс (см. рис 1).
 точного      решения,     поэтому     используются
 итерационные численные методы позволяющие                  Обычно решение разбивается на два этапа:
 получить приближенное решение с определенной
 степенью точности.                                       1.Отделение корней.
        Рассмотрим уравнение в общем виде                 2.Уточнение корней до заданной точности.
               F(x) = 0     (1.1)                              На первом этапе необходимо выделить такой
  где F(x) есть многочлен, либо какая-либо функция        интервал, на котором существует только один
 от x.                                                    корень. Это можно сделать, используя график,
                                                          выделив, к примеру, участок [a,b], содержащий
       Y                                                  точку пересечения графика функции F(x) с осью
                                    F(x)                  абсцисс (см. рис.1). Либо аналитически, используя
                                                          следующее условие:

                 x0   x1   x2                                           F(a)*F(b)<0      (1.2)
F(b)                                       b              где a и b есть значения x, при которых функция
                                                      X   имеет противоположные знаки.
   0                                                          На втором этапе используются численные
                                                          методы: метод Ньютона или метод хорд,
             a
                                                          рассматриваемых далее.


F(a)

                      Рис.1

Страницы