Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.1. Свойства форм a и b. 49
Далее без дополнительных ссылок будем использовать свойства
функций K
n
, указанные в лемме 2.3. Поскольку K
n
(pR) → |n| при
p → 0 при всех n, то по определению примем
a(0, u, v) :=
∫
Ω
∇u · ∇v dx + 2π
∞
∑
n=−∞
|n|a
n
(u) a
n
(v). (2.25)
В силу этого, далее будем считать, что при всех p ∈ R
+
форма a
имеет определение (2.24).
Лемма 2.7. При каждом p ∈ R
+
форма a является симмет-
ричной, неотрицательной и ограниченной,
m
A
(p)∥u∥
2
1,Ω
6 a(p, u, u) 6 M
A
(p)∥u∥
2
1,Ω
, u ∈ V, (2.26)
где m
A
(p) := 1
p
, M
A
(p) := (σ
+
+ c
2
0
(R
0
)) 1
p
.
Если (A(p)u, v) = a(p, u, v) для любых u, v ∈ V , то A(p) являет-
ся самосопряженным и неотрицательным оператором; ker A(0) =
{u : u = const в Ω}; A(p) + B > m
AB
I, где постоянная m
AB
> 0
зависит от Ω и ε.
Доказательство. Симметричность и неотрицательность фор-
мы a являются очевидными. Напомним, что при p > 0 (см. (2.18))
0 6 s
∞
(p, u, u) 6 M
s
(p)∥u∥
2
1,Ω
, M
s
(p) := c
2
0
(R
0
) 1
p
. (2.27)
Ясно, что эти оценки справедливы и при p = 0, т. к. K
n
(0) 6 K
n
(Rp).
Учитывая их, из (2.24) легко вывести оценки (2.26) (напомним, что
1 6 σ 6 σ
+
). Из них следует, что A(p) является самосопряженным и
неотрицательным. Отметим, что m
A
(0) = 0, m
A
(p) > 0 при p > 0.
Утверждение о ядре A(0) становится очевидным, если учесть, что
при u = const в Ω, имеем u
Γ
= const; a
n
(u) = 0 при n ̸= 0 (коэффи-
циент a
0
(u) ̸= 0 отсутствует в определении a(0, u, u)). Наконец,
a(p, u, u)+b(u, u) >
∫
Ω
|∇u|
2
dx+
∫
Ω
(σ−1)u
2
dx =: |u|
2
1,Ω
+ρ
2
(u). (2.28)
Отметим, что ρ есть непрерывная полунорма на L
2
(Ω) и она не обра-
щается в нуль на постоянных в Ω функциях. Хорошо известно, что в
этом случае справедлива оценка (см., напр., [28, c. 25])
∫
Ω
u
2
dx 6 c
Ω
(
|u|
2
1,Ω
+ ρ
2
(u)
)
,
2.1. Свойства форм a и b.                                               49


Далее без дополнительных ссылок будем использовать свойства
функций Kn , указанные в лемме 2.3. Поскольку Kn (pR) → |n| при
p → 0 при всех n, то по определению примем
                   ∫                ∑∞
      a(0, u, v) := ∇u · ∇v dx + 2π     |n| an (u) an (v). (2.25)
                                           n=−∞
                     Ω
В силу этого, далее будем считать, что при всех p ∈ R+ форма a
имеет определение (2.24).
   Лемма 2.7. При каждом p ∈ R+ форма a является симмет-
ричной, неотрицательной и ограниченной,
        mA (p)∥u∥21,Ω 6 a(p, u, u) 6 MA (p)∥u∥21,Ω , u ∈ V,          (2.26)
где mA (p) := 1p , MA (p) := (σ+ + c20 (R0 )) 1p .
    Если (A(p)u, v) = a(p, u, v) для любых u, v ∈ V , то A(p) являет-
ся самосопряженным и неотрицательным оператором; ker A(0) =
{u : u = const в Ω}; A(p) + B > mAB I, где постоянная mAB > 0
зависит от Ω и ε.
   Доказательство. Симметричность и неотрицательность фор-
мы a являются очевидными. Напомним, что при p > 0 (см. (2.18))
       0 6 s∞ (p, u, u) 6 Ms (p)∥u∥21,Ω , Ms (p) := c20 (R0 ) 1p .   (2.27)
Ясно, что эти оценки справедливы и при p = 0, т. к. Kn (0) 6 Kn (Rp).
Учитывая их, из (2.24) легко вывести оценки (2.26) (напомним, что
1 6 σ 6 σ+ ). Из них следует, что A(p) является самосопряженным и
неотрицательным. Отметим, что mA (0) = 0, mA (p) > 0 при p > 0.
   Утверждение о ядре A(0) становится очевидным, если учесть, что
при u = const в Ω, имеем u Γ = const; an (u) = 0 при n ̸= 0 (коэффи-
циент a0 (u) ̸= 0 отсутствует в определении a(0, u, u)). Наконец,
                      ∫           ∫
 a(p, u, u)+b(u, u) > |∇u|2 dx+ (σ−1)u2 dx =: |u|21,Ω +ρ2 (u). (2.28)
                         Ω            Ω
Отметим, что ρ есть непрерывная полунорма на L2 (Ω) и она не обра-
щается в нуль на постоянных в Ω функциях. Хорошо известно, что в
этом случае справедлива оценка (см., напр., [28, c. 25])
                   ∫
                                (                )
                      u2 dx 6 cΩ |u|21,Ω + ρ2 (u) ,
                         Ω

Страницы