Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

50 Глава 2. Скалярная задача
где постоянная c
Ω
зависит от области Ω . Прибавляя к обеим частям
этой оценки |u|
2
1,Ω
, получим: |u|
2
1,Ω
+ ρ
2
(u) > m
AB
∥u∥
2
1,Ω
, а из (2.28) —
заключительное утверждение леммы.
Лемма 2.8. Функция p → a(p, u, u) является дифференцируе-
мой на (0, ∞), непрерывной в нуле и строго монотонно возрастаю-
щей при каждом фиксированном u ∈ V .
Доказательство. Пусть фиксировано u ∈ V . Убедимся, что
ряд, определяющий s
∞
(p, u, u), можно почленно дифференцировать
по p на любом отрезке ω := [ω
1
, ω
2
] из (0, ∞). Для этого достаточно
убедиться, что формальная производная ряда
s
′
(p) := 2πR
∞
∑
n=−∞
K
′
n
(pR) |a
n
(u)|
2
сходится равномерно в ω. Напомним, что все функции r → K
n
(r)
являются строго монотонно возрастающими, непрерывными в нуле и
аналитическими на (0, ∞)
1)
, 0 < K
′
n
(r) 6 |n| + r при r > 0 и n ̸= 0.
Пусть µ
ω
:= max{K
′
0
(pR), pR : p ∈ ω}. Нетрудно видеть, что ряд s
′
(p)
мажорируется сходящимся числовым рядом
2πR
∞
∑
n=−∞
(|n| + µ
ω
)|a
n
(u)|
2
= Rs
∞
(0, u, u) + µ
ω
2πR
∞
∑
n=−∞
|a
n
(u)|
2
=
= Rs
∞
(0, u, u) + µ
ω
∫
Γ
u
2
dΓ 6 D
ω
∥u∥
2
1,Ω
.
Здесь мы воспользовались оценкой (2.27) при p = 0, равенством Пар-
севаля (см. (2.9)) и непрерывностью вложения H
1
(Ω) ⊂ L
2
(Γ). Следо-
вательно, ряд s
′
(p) сходится равномерно на ω (признак Вейерштрас-
са). Поскольку s
′
(p) > 0, то при p ∈ ω и u ̸= 0 имеем:
0 <
d
dp
a(p, u, u) = 2p
∫
Ω
σu
2
dx + s
′
(p) 6 D
A
(p)∥u∥
2
1,Ω
,
где D
A
(p) := 2p σ
+
+ D
ω
. Отсюда следует также, что a(p, u, u) строго
монотонно возрастает по p при фиксированном u.
1)
вещественная функция аналитична в области ω, если в каждой точке ω она раскладывается
в равномерно сходящийся ряд Тейлора.
50                                                           Глава 2. Скалярная задача


где постоянная cΩ зависит от области Ω. Прибавляя к обеим частям
этой оценки |u|21,Ω , получим: |u|21,Ω + ρ2 (u) > mAB ∥u∥21,Ω , а из (2.28) —
заключительное утверждение леммы. 
   Лемма 2.8. Функция p → a(p, u, u) является дифференцируе-
мой на (0, ∞), непрерывной в нуле и строго монотонно возрастаю-
щей при каждом фиксированном u ∈ V .
    Доказательство. Пусть фиксировано u ∈ V . Убедимся, что
ряд, определяющий s∞ (p, u, u), можно почленно дифференцировать
по p на любом отрезке ω := [ω1 , ω2 ] из (0, ∞). Для этого достаточно
убедиться, что формальная производная ряда
                                           ∞
                                           ∑
                        ′
                       s (p) := 2πR               K′n (pR) |an (u)|2
                                           n=−∞

сходится равномерно в ω. Напомним, что все функции r → Kn (r)
являются строго монотонно возрастающими, непрерывными в нуле и
аналитическими на (0, ∞) 1) , 0 < K′n (r) 6 |n| + r при r > 0 и n ̸= 0.
Пусть µω := max{K′0 (pR), pR : p ∈ ω}. Нетрудно видеть, что ряд s′ (p)
мажорируется сходящимся числовым рядом
         ∞
         ∑                                                             ∞
                                                                       ∑
  2πR                              2
               (|n| + µω )|an (u)| = Rs∞ (0, u, u) + µω 2πR                   |an (u)|2 =
        n=−∞
                                                               ∫       n=−∞

                                   = Rs∞ (0, u, u) + µω            u2 dΓ 6 Dω ∥u∥21,Ω .
                                                               Γ

Здесь мы воспользовались оценкой (2.27) при p = 0, равенством Пар-
севаля (см. (2.9)) и непрерывностью вложения H 1 (Ω) ⊂ L2 (Γ). Следо-
вательно, ряд s′ (p) сходится равномерно на ω (признак Вейерштрас-
са). Поскольку s′ (p) > 0, то при p ∈ ω и u ̸= 0 имеем:
                               ∫
             d
        0<      a(p, u, u) = 2p σu2 dx + s′ (p) 6 DA (p)∥u∥21,Ω ,
             dp
                                       Ω

где DA (p) := 2p σ+ + Dω . Отсюда следует также, что a(p, u, u) строго
монотонно возрастает по p при фиксированном u.
  1)
    вещественная функция аналитична в области ω, если в каждой точке ω она раскладывается
в равномерно сходящийся ряд Тейлора.

Страницы