Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

52 Глава 2. Скалярная задача
p пробегал R
+
1)
. Были доказаны две теоремы (1.4 и 1.5), посвящен-
ные соответственно существованию решений и свойствам дисперси-
онных кривых. Чтобы воспользоваться этими результатами, необхо-
димо проверить пять условий (см. условия A
1
−A
5
на с. 21), которым
должны удовлетворять операторы A(p) и B при p ∈ R
+
(предыдущий
пункт, фактически, и был посвящен проверке этих условий).
Лемма 2.9. Оператор-функция p → A(p) и оператор B удовле-
творяют условиям A
1
− A
5
.
Доказательство. Напомним условия A
1
−A
5
(опуская части,
касающиеся зависимости B от p), а также укажем леммы предыду-
щего пункта, посвященные их проверке.
В леммах 2.6 и 2.7 было доказано, что
m
A
(p) 6 A(p) 6 M
A
(p)I, p ∈ R
+
, 0 6 B 6 M
B
I,
r
0
:= dim(ker A(0)) = 1, dim(ImB(p)) = ∞,
где m
A
(0) = 0, m
A
(p) > 0 при p > 0. Эти оценки означают, что
выполнены как условия A
1
, так и условия A
2
.
В лемме 2.7 при всех p из R
+
была установлена оценка A(p) +
B(p) > m
AB
I, определяющая условие A
3
. Там же было доказано,
что функция p → a(p, u, u) строго монотонно возрастает при любом
u ∈ V , поэтому отнoшения Рэлея R(p, u) := a(p, u, u)/b(u, u) строго
монотонно возрастает по p на
e
V
1)
(условие A
4
).
Непрерывность в нуле функции p → a(p, u, u) была доказана
в лемме 2.8. Там же была установлена ее дифференцируемость на
(0, ∞). Такие функции локально-липшиц непрерывны, поскольку
|a(p, u, u) − a(¯p, u, u)| =
p
∫
¯p
d
dρ
a(ρ, u, u) dρ
6
6
p
∫
¯p
L
ω
∥u∥
2
1,Ω
dρ
6 L
ω
|p − ¯p|∥u∥
2
1,Ω
,
где p, ¯p ∈ ω := [ω
1
, ω
2
] ⊂ (0, ∞). Таким образом функция p → A(p),
как и B, принадлежат классу L(R
+
, V ) (условия A
5
).
1)
рассматриваемая задача несколько проще, поскольку оператор B не зависит от p.
1)
e
V есть ортогональное дополнение ker B до пространства V
A(p)+B
.
52                                                            Глава 2. Скалярная задача


p пробегал R+ 1) . Были доказаны две теоремы (1.4 и 1.5), посвящен-
ные соответственно существованию решений и свойствам дисперси-
онных кривых. Чтобы воспользоваться этими результатами, необхо-
димо проверить пять условий (см. условия A1 − A5 на с. 21), которым
должны удовлетворять операторы A(p) и B при p ∈ R+ (предыдущий
пункт, фактически, и был посвящен проверке этих условий).
   Лемма 2.9. Оператор-функция p → A(p) и оператор B удовле-
творяют условиям A1 − A5 .
   Доказательство. Напомним условия A1 − A5 (опуская части,
касающиеся зависимости B от p), а также укажем леммы предыду-
щего пункта, посвященные их проверке.
   В леммах 2.6 и 2.7 было доказано, что
              mA (p) 6 A(p) 6 MA (p)I, p ∈ R+ , 0 6 B 6 MB I,
               r0 := dim(ker A(0)) = 1, dim(ImB(p)) = ∞,
где mA (0) = 0, mA (p) > 0 при p > 0. Эти оценки означают, что
выполнены как условия A1 , так и условия A2 .
    В лемме 2.7 при всех p из R+ была установлена оценка A(p) +
B(p) > mAB I, определяющая условие A3 . Там же было доказано,
что функция p → a(p, u, u) строго монотонно возрастает при любом
u ∈ V , поэтому отнoшения Рэлея R(p, u) := a(p, u, u)/b(u, u) строго
монотонно возрастает по p на Ve 1) (условие A4 ).
    Непрерывность в нуле функции p → a(p, u, u) была доказана
в лемме 2.8. Там же была установлена ее дифференцируемость на
(0, ∞). Такие функции локально-липшиц непрерывны, поскольку
                                    ∫p
                                          d
 |a(p, u, u) − a(p̄, u, u)| =                a(ρ, u, u) dρ 6
                                          dρ
                                     p̄
                                              ∫p
                                          6        Lω ∥u∥21,Ω dρ 6 Lω |p − p̄| ∥u∥21,Ω ,
                                              p̄

где p, p̄ ∈ ω := [ω1 , ω2 ] ⊂ (0, ∞). Таким образом функция p → A(p),
как и B, принадлежат классу L(R+ , V ) (условия A5 ). 
 1)
      рассматриваемая задача несколько проще, поскольку оператор B не зависит от p.
 1) e
      V есть ортогональное дополнение ker B до пространства VA(p)+B .

Страницы