Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.2. Существование и свойства решений задачи (P). 53
Теорема 2.10. При каждом p ∈ R
+
существует счетное мно-
жество чисел β
K
(p), K > 1, с единственной точкой накопления
+∞, квадраты которых образуют полный набор собственных чисел
задачи (P) при p > 0 и задачи (2.30) при p = 0. Соответству-
ющие им собственные подпространства U
K
(p) — конечномерны,
V
A(p)+B
=
∞
k=1
U
K
(p) ⊕ ker B.
2)
Кроме того, если {β
i
(p)}
∞
i=1
есть числа β
K
(p), K = 1, 2, . . ., про-
нумерованные по возрастанию с учетом кратности, то
a) функции p → β
i
(p) и p → β
2
i
(p) − p
2
, i > 1, являются стро-
го монотонно возрастающими, непрерывными в нуле и локально
липшиц-непрерывными на (0, ∞);
b) β
1
(p) ↘ +0 при p → +0, β
2
(0) > 0;
c) если k
0
:=
ε
+
/(ε
+
− ε
∞
)
1/2
, то
β
i
(p)
p
> k
0
, lim
p→∞
β
i
(p)
p
= k
0
.
Доказательство. Из теорем 1.4 и 1.5 главы 1, которыми мы
можем воспользоваться благодаря предыдущей лемме, следуют все
утверждения теоремы, кроме утверждений о монотонности функций
p → β
2
i
(p) − p
2
и c).
Пусть p > 0. Используем минимаксный принцип Куранта-
Фишера. Имеем:
β
2
i
(p) = min
V
i
⊂
V
max
v∈V
i
\{0}
R(p, v), R(p, v) :=
a(p, v, v)
b(v, v)
,
Поэтому
β
2
i
(p) − p
2
= min
V
i
⊂
V
max
v∈V
i
\{0}
R(p, v),
R(p, v) := R(p, v) − p
2
. (2.31)
Простые преобразования приводят к равенству
R(p, v) =
1
b(v, v)
Ω
(|∇v|
2
+ p
2
v
2
) dx + s
∞
(p, v, v)
.
Теперь из (2.31) следует, что функция p → β
2
i
(p) − p
2
является неот-
рицательной и строго монотонно возрастающей.
2)
кратность β
K
(p) определим как кратность β
K2
(p) := (β
K
(p))
2
. Соответствующие им соб-
ственные элементы будем называть также собственными функциями.
2.2. Существование и свойства решений задачи (P).                                          53


    Теорема 2.10. При каждом p ∈ R+ существует счетное мно-
жество чисел β K (p), K > 1, с единственной точкой накопления
+∞, квадраты которых образуют полный набор собственных чисел
задачи (P) при p > 0 и задачи (2.30) при p = 0. Соответству-
ющие им собственные подпространства U K (p) — конечномерны,
          ⊕
          ∞
VA(p)+B =   U K (p) ⊕ ker B. 2)
             k=1
   Кроме того, если {βi (p)}∞                    K
                            i=1 есть числа β (p), K = 1, 2, . . ., про-
нумерованные по возрастанию с учетом кратности, то
   a) функции p → βi (p) и p → βi2 (p) − p2 , i > 1, являются стро-
го монотонно возрастающими, непрерывными в нуле и локально
липшиц-непрерывными на (0, ∞);
   b) β1 (p) ↘ +0 при p → +0, β2 (0) > 0;
                   (            )1/2      βi (p)            βi (p)
   c) если k0 := ε+ /(ε+ − ε∞ )      , то        > k0 , lim        = k0 .
                                            p           p→∞   p
   Доказательство. Из теорем 1.4 и 1.5 главы 1, которыми мы
можем воспользоваться благодаря предыдущей лемме, следуют все
утверждения теоремы, кроме утверждений о монотонности функций
p → βi2 (p) − p2 и c).
   Пусть p > 0. Используем минимаксный принцип Куранта-
Фишера. Имеем:
                                                                   a(p, v, v)
             βi2 (p) = min max R(p, v),              R(p, v) :=               ,
                        Vi ⊂Ve v∈Vi \{0}                            b(v, v)
Поэтому
                              e v), R(p,
       βi2 (p) − p2 = min max R(p,  e v) := R(p, v) − p2 .                            (2.31)
                      Vi ⊂Ve v∈Vi \{0}

Простые преобразования приводят к равенству
                    1    (∫                                )
        e
       R(p, v) =                 2   2 2
                            (|∇v| + p v ) dx + s∞ (p, v, v) .
                 b(v, v)
                                    Ω

Теперь из (2.31) следует, что функция p → βi2 (p) − p2 является неот-
рицательной и строго монотонно возрастающей.
  2)
    кратность β K (p) определим как кратность β K2 (p) := (β K (p))2 . Соответствующие им соб-
ственные элементы будем называть также собственными функциями.

Страницы