Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Аналитичность дисперсионных кривых. 55
где
e
K
n
(z) = K
n
(z) − K
n
(0). Задачу (P) преобразуем к виду
e
A(p)u := A
0
u + A
1
(p)u = λBu, A
0
:= A(0) + B, λ := β
2
+ 1. (2.33)
Далее покажем, что оператор A
1
(p), рассматриваемый как возмуще-
ние положительно определенного оператора A
0
, аналитически зави-
сит от p. Тогда, привлекая аналитическую теорию возмущений ли-
нейных операторов, получим следующее утверждение.
Теорема 2.11. Все собственные числа задачи (P) представ-
ляются аналитическими на (0, ∞) функциями. Точнее, существу-
ет последовательность скалярных функций λ
i
(p) и последователь-
ность вектор-функций u
i
(p), i = 1, 2, . . ., аналитических на (0, ∞)
и таких, что для каждой точки p ∈ (0, ∞) последовательность
λ
i
(p) представляет полный набор собственных чисел задачи (P), а
последовательность u
i
(p) образует полное в V/ ker B(0) семейство
собственных элементов.
Доказательство. Рассмотрим эквивалентную формулиров-
ку (2.33) задачи (P). Задачи такого типа при более общих пред-
положениях относительно операторов задачи изучались в моногра-
фии [29, c. 520]. Поскольку оператор
e
A(p) положительно определен
при всех p, то определен самосопряженный и компактный оператор
T (p) :=
e
A
−1/2
(p)B
e
A
−1/2
(p). Он также аналитически зависит от p на
(0, ∞ ) [29, c. 523,524]. Ясно, что
T (p)v = µ(p)v, λ(p) =: µ
−1
(p) − 1, u =:
e
A
−1/2
(p)v.
Нас интересуют только ненулевые собственные числа семейства T (p).
Так как ker T (p) = ker B(0) при всех p, то они могут быть получены
как решения задачи
e
T (p)v = µ(p)v, v ∈
e
V \ {0},
e
V := V/ ker B(0), (2.34)
где
e
T (p) есть сужение T (p) на
e
V . Известно, что все собственные числа
и соответствующие им собственные элементы этой задачи представ-
ляются аналитическими на (0, ∞) функциями ([29, cм. теорему 3.9
и замечание 3.11 на с. 490]), причем собственные элементы образуют
базис в
e
V . Отсюда следуют утверждения теоремы, если учесть связь
между исходной задачей и (2.34). 
2.3. Аналитичность дисперсионных кривых.                              55


    e n (z) = Kn (z) − Kn (0). Задачу (P) преобразуем к виду
где K
 e
 A(p)u := A0 u + A1 (p)u = λBu, A0 := A(0) + B, λ := β 2 + 1. (2.33)

Далее покажем, что оператор A1 (p), рассматриваемый как возмуще-
ние положительно определенного оператора A0 , аналитически зави-
сит от p. Тогда, привлекая аналитическую теорию возмущений ли-
нейных операторов, получим следующее утверждение.
     Теорема 2.11. Все собственные числа задачи (P) представ-
ляются аналитическими на (0, ∞) функциями. Точнее, существу-
ет последовательность скалярных функций λi (p) и последователь-
ность вектор-функций ui (p), i = 1, 2, . . ., аналитических на (0, ∞)
и таких, что для каждой точки p ∈ (0, ∞) последовательность
λi (p) представляет полный набор собственных чисел задачи (P), а
последовательность ui (p) образует полное в V / ker B(0) семейство
собственных элементов.
    Доказательство. Рассмотрим эквивалентную формулиров-
ку (2.33) задачи (P). Задачи такого типа при более общих пред-
положениях относительно операторов задачи изучались в моногра-
фии [29, c. 520]. Поскольку оператор A(p)e   положительно определен
при всех p, то определен самосопряженный и компактный оператор
         e−1/2 (p)B A
T (p) := A           e−1/2 (p). Он также аналитически зависит от p на
(0, ∞) [29, c. 523,524]. Ясно, что

        T (p)v = µ(p)v,                             e−1/2 (p)v.
                          λ(p) =: µ−1 (p) − 1, u =: A

Нас интересуют только ненулевые собственные числа семейства T (p).
Так как ker T (p) = ker B(0) при всех p, то они могут быть получены
как решения задачи

        Te(p)v = µ(p)v,   v ∈ Ve \ {0}, Ve := V / ker B(0),       (2.34)

где Te(p) есть сужение T (p) на Ve . Известно, что все собственные числа
и соответствующие им собственные элементы этой задачи представ-
ляются аналитическими на (0, ∞) функциями ([29, cм. теорему 3.9
и замечание 3.11 на с. 490]), причем собственные элементы образуют
базис в Ve . Отсюда следуют утверждения теоремы, если учесть связь
между исходной задачей и (2.34). 

Страницы