Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

56 Глава 2. Скалярная задача
Замечание 2.10. Разницу между двумя нумерациями {λ
i
(p)} и {λ
i
(p)} диспер-
сионных кривых демонстрирует рис. 1, c. 24.
Замечание 2.11. Согласно теореме 2.10 аналитические функции λ
i
(p) определе-
ны по непрерывности при p = 0. Аналогичное утверждение, на доказательстве которого
мы не останавливаемся, справедливо и для собственных элементов u
i
(p).
Докажем аналитичность семейства операторов A
1
(p). Для этого
достаточно доказать следующее утверждение.
Лемма 2.10. Функция p →
∞
n=−∞
K
n
(pR) a
n
(u) a
n
(v) при фикси-
рованных u, v ∈ V является аналитической на (0, ∞). Радиус схо-
димости его ряда Тейлора в точке p
0
> 0 равен p
0
.
Доказательство. Пусть фиксированы u, v ∈ V , c
n
:=
a
n
(u) a
n
(v), ϕ
n
(z) :=
K
n
(z)/z (z ∈ C
+
:= {p + iy : p > 0}). Опре-
делим ряды
s
0
:=
∞
n=−∞
|c
n
|, s(z) :=
∞
n=−∞
K
n
(Rz) c
n
.
Из равенства Парсеваля (см. (2.9), c. 33) и вложения V ⊂ L
2
(Γ) сле-
дует, что числовой ряд s
0
сходится. Действительно,
s
2
0
6
∞
n=−∞
|a
n
(u)|
2
∞
n=−∞
|a
n
(v)|
2
6 c ∥u∥
2
1,Ω
∥v∥
2
1,Ω
.
Ряд s(z) преобразуется к виду
s(z) = c
0
K
0
(Rz) + Rz
∞
n=−∞,n̸=0
c
n
ϕ
n
(Rz) =: c
0
K
0
(Rz) + Rz s
1
(z).
Функциональный ряд s
1
мажорируются рядом s
0
, так как |ϕ
n
(z)| 6 1
в C
+
при n ̸= 0. Поэтому s
1
сходится равномерно в C
+
. Поскольку
при каждом n функции ϕ
n
(z), а также K
0
(z), являются аналитиче-
скими в односвязной области C
+
, то по теореме Вейерштрасса s
1
(z), а
следовательно и s(z), являются аналитическими в C
+
. Отметим, что
поскольку аналитичность s теряется в нуле, то радиус сходимости
ряда Тейлора
s(z) =
∞
k=0
s
(k)
(z
0
, u, v)(z − z
0
)
k
, s
(k)
(z
0
, u, v) :=
s
(k)
(z
0
)
k!
,
56                                                                    Глава 2. Скалярная задача


    Замечание 2.10. Разницу между двумя нумерациями {λi (p)} и {λi (p)} диспер-
сионных кривых демонстрирует рис. 1, c. 24.
    Замечание 2.11. Согласно теореме 2.10 аналитические функции λi (p) определе-
ны по непрерывности при p = 0. Аналогичное утверждение, на доказательстве которого
мы не останавливаемся, справедливо и для собственных элементов ui (p).

   Докажем аналитичность семейства операторов A1 (p). Для этого
достаточно доказать следующее утверждение.
                                ∑
                                ∞
                                   e n (pR) an (u) an (v) при фикси-
   Лемма 2.10. Функция p →         K
                                                   n=−∞
рованных u, v ∈ V является аналитической на (0, ∞). Радиус схо-
димости его ряда Тейлора в точке p0 > 0 равен p0 .
     Доказательство. Пусть фиксированы u, v ∈ V , cn :=
                         e n (z)/z (z ∈ C+ := {p + iy : p > 0}). Опре-
an (u) an (v), ϕn (z) := K
делим ряды
                                ∞
                                ∑                           ∞
                                                            ∑
                    s0 :=              |cn |, s(z) :=               e n (Rz) cn .
                                                                    K
                                n=−∞                        n=−∞

Из равенства Парсеваля (см. (2.9), c. 33) и вложения V ⊂ L2 (Γ) сле-
дует, что числовой ряд s0 сходится. Действительно,
                         ∞
                         ∑                     ∞
                                               ∑
             s20   6            |an (u)|   2
                                                      |an (v)|2 6 c ∥u∥21,Ω ∥v∥21,Ω .
                       n=−∞                    n=−∞

Ряд s(z) преобразуется к виду
                                        ∞
                                        ∑
     s(z) = c0 K0 (Rz) + Rz                        cn ϕn (Rz) =: c0 K0 (Rz) + Rz s1 (z).
                                    n=−∞,n̸=0

Функциональный ряд s1 мажорируются рядом s0 , так как |ϕn (z)| 6 1
в C+ при n ̸= 0. Поэтому s1 сходится равномерно в C+ . Поскольку
при каждом n функции ϕn (z), а также K0 (z), являются аналитиче-
скими в односвязной области C+ , то по теореме Вейерштрасса s1 (z), а
следовательно и s(z), являются аналитическими в C+ . Отметим, что
поскольку аналитичность s теряется в нуле, то радиус сходимости
ряда Тейлора
                   ∞
                   ∑                                                          s(k) (z0 )
        s(z) =           s (z0 , u, v)(z − z0 ) ,
                          (k)                           k     (k)
                                                             s (z0 , u, v) :=            ,
                                                                                 k!
                   k=0

Страницы