Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

58 Глава 2. Скалярная задача
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
6
p
β
K
0 2 4 6
0
1
2
3
4
5
6
k
β
Λ
Рис. 4. Дисперсионные кривые для волновода прямоугольного поперечного сечения с
размерами 1.5 × 1; ε(x) = 2.0, x ∈ Ω
i
; ε
∞
= 1. На левом рисунке пунктирной линией
изображена граница области K, на правом — граница Λ.
При p → 0 имеем k
i
(p) → k
0
i
= β
0
i
/ε
1/2
∞
, β
i
(p) → β
0
i
. Таким образом,
i-тая дисперсионная кривая начинается в критической точке (k
0
i
, β
0
i
)
(число ω
0
i
:= k
0
i
/(ε
0
µ
0
)
1/2
называется критической частотой; см. рис.
4, где представлены первые дисперсионные кривые задачи (P) (сле-
ва) и (P
∞
) (справа) для однородного волновода прямоугольного по-
перечного сечения, полученные численно). Ясно, что дисперсионные
кривые допускают параметризацию
β
i
= β
i
(k), k ∈ (k
0
i
, ∞), i = 1, 2, . . .
1)
Также ясно, что числа β
02
i
являются решениями следующей задачи:
найти (β
2
, u) ∈ R
+
× V \{0}, удовлетворяющие тождеству
(P
0
) : a(0, u, v) = β
2
b(u, v) ∀v ∈ V.
Напомним, что
a(0, u, v) :=
∫
Ω
∇u · ∇v dx + 2π
∞
∑
n=−∞
|n|a
n
(u) a
n
(v).
Задачу (P
0
) назовем задачей определения критических чисел. Со-
гласно теореме 2.10
0 = β
0
1
< β
0
2
6 β
0
3
6 . . . , β
0
i
→ ∞, i → ∞.
1)
впрочем, как и парметризацию k
i
= k
i
(β), β ∈ (β
0
i
, ∞), i = 1, 2, . . .
58                                                                   Глава 2. Скалярная задача


         6                                              6

         5        K                                     5                        Λ

         4                                              4

      β 3                                             β 3

         2                                              2

         1                                              1

         0                                              0
          0       1       2   p 3         4       5      0            2      k   4        6



Рис. 4. Дисперсионные кривые для волновода прямоугольного поперечного сечения с
размерами 1.5 × 1; ε(x) = 2.0, x ∈ Ωi ; ε∞ = 1. На левом рисунке пунктирной линией
изображена граница области K, на правом — граница Λ.
                                                        1/2
При p → 0 имеем ki (p) → ki0 = βi0 /ε∞ , βi (p) → βi0 . Таким образом,
i-тая дисперсионная кривая начинается в критической точке (ki0 , βi0 )
(число ωi0 := ki0 /(ε0 µ0 )1/2 называется критической частотой; см. рис.
4, где представлены первые дисперсионные кривые задачи (P) (сле-
ва) и (P∞ ) (справа) для однородного волновода прямоугольного по-
перечного сечения, полученные численно). Ясно, что дисперсионные
кривые допускают параметризацию

                         βi = βi (k), k ∈ (ki0 , ∞), i = 1, 2, . . . 1)

Также ясно, что числа βi02 являются решениями следующей задачи:
найти (β 2 , u) ∈ R+ × V \{0}, удовлетворяющие тождеству

                         (P 0 ) :    a(0, u, v) = β 2 b(u, v) ∀ v ∈ V.

Напомним, что
                                 ∫                            ∞
                                                              ∑
               a(0, u, v) :=         ∇u · ∇v dx + 2π                 |n| an (u) an (v).
                                                              n=−∞
                                 Ω

Задачу (P 0 ) назовем задачей определения критических чисел. Со-
гласно теореме 2.10

                      0 = β10 < β20 6 β30 6 . . . ,          βi0 → ∞, i → ∞.
 1)
      впрочем, как и парметризацию ki = ki (β), β ∈ (βi0 , ∞), i = 1, 2, . . .

Страницы