ВУЗ:
Составители:
60 Глава 2. Скалярная задача
является хорошим приближением задачи (P), поскольку 0 6 β
2
(p) − λ 6 c ϵ. Эта зада-
ча зависит от малого параметра ϵ
0
. Пусть (λ
0
, u
0
) его собственные пары при нулевом
значении ϵ
0
. Используя теорию асимптотических разложений собственных пар (см.,
напр., [29, теорема 2.6, c. 551]) имеем разложение λ = λ
0
+ λ
1
ϵ
0
+ O(ϵ
2
0
). Для простого
собственного числа λ
1
= (A
0
u
0
, u
0
)/(Bu
0
, u
0
). Окончательно получим:
β
2
(p) = λ
0
+ λ
1
ϵ
0
+ O(ϵ
2
0
) + O(ϵ) = λ
0
+ λ
1
K
0
(pR) + O(K
2
0
(pR)).
Рассмотрим первую собственную пару (β
2
1
(p), u
1
(p)). В этом случае λ
0
= 0, u
0
= c —
постоянная в Ω функция (он приналежит ядру A
0
при ϵ
0
= 0). Поэтому
β
2
1
(p) = λ
1
K
0
(Rp) + O(K
2
0
(pR)), λ
1
:= 2π/
∫
Ω
(σ −1) dx.
Таким образом, при малых p поведение функции p → β
1
(p) совпадает с поведением
функции K
1/2
0
(Rp) (график функции K
0
(p) см. на левом рис. 2, с. 37).
§ 3. Дискретная задача
Для приближенного решения задачи (P) используем метод Галер-
кина с возмущениями. Абстрактная оценка точности этого метода бы-
ла получена в первой главе (см. теорему 1.8 на с. 29). Для дискретиза-
ции задачи используем метод конечных элементов (МКЭ) с числен-
ным интегрированием, основанный на конформной аппроксимации
V
h
пространства Соболева V := H
1
(Ω). Наряду с численным инте-
грированием, дополнительное возмущение в метод Галеркина вносит
усечение бесконечной суммы, входящей в определение формы a.
3.1. Пространство конечных элементов.
Опишем кратко конструкцию пространства конечных элементов
V
h
(подробнее см. в [30, c. 47], либо [31], [32], либо [33, c. 114]). Пусть
{T
h
}
h
— семейство точных регулярных триангуляциий круга Ω, за-
висящее от малого параметра h > 0. А именно, T
h
есть такая сово-
купность треугольных конечных элементов e, что
1)
Ω
h
:=
∪
e∈T
h
e = Ω, h := max
e∈T
h
diam(e).
1)
общими у элементов могут быть либо сторона, либо вершина; e — замкнутое множество.
60 Глава 2. Скалярная задача
является хорошим приближением задачи (P), поскольку 0 6 β 2 (p) − λ 6 c ϵ. Эта зада-
ча зависит от малого параметра ϵ0 . Пусть (λ0 , u0 ) его собственные пары при нулевом
значении ϵ0 . Используя теорию асимптотических разложений собственных пар (см.,
напр., [29, теорема 2.6, c. 551]) имеем разложение λ = λ0 + λ1 ϵ0 + O(ϵ20 ). Для простого
собственного числа λ1 = (A0 u0 , u0 )/(Bu0 , u0 ). Окончательно получим:
β 2 (p) = λ0 + λ1 ϵ0 + O(ϵ20 ) + O(ϵ) = λ0 + λ1 K0 (pR) + O(K20 (pR)).
Рассмотрим первую собственную пару (β12 (p), u1 (p)). В этом случае λ0 = 0, u0 = c —
постоянная в Ω функция (он приналежит ядру A0 при ϵ0 = 0). Поэтому
∫
β1 (p) = λ1 K0 (Rp) + O(K0 (pR)), λ1 := 2π/ (σ − 1) dx.
2 2
Ω
Таким образом, при малых p поведение функции p → β1 (p) совпадает с поведением
1/2
функции K0 (Rp) (график функции K0 (p) см. на левом рис. 2, с. 37).
§ 3. Дискретная задача
Для приближенного решения задачи (P) используем метод Галер-
кина с возмущениями. Абстрактная оценка точности этого метода бы-
ла получена в первой главе (см. теорему 1.8 на с. 29). Для дискретиза-
ции задачи используем метод конечных элементов (МКЭ) с числен-
ным интегрированием, основанный на конформной аппроксимации
Vh пространства Соболева V := H 1 (Ω). Наряду с численным инте-
грированием, дополнительное возмущение в метод Галеркина вносит
усечение бесконечной суммы, входящей в определение формы a.
3.1. Пространство конечных элементов.
Опишем кратко конструкцию пространства конечных элементов
Vh (подробнее см. в [30, c. 47], либо [31], [32], либо [33, c. 114]). Пусть
{Th }h — семейство точных регулярных триангуляциий круга Ω, за-
висящее от малого параметра h > 0. А именно, Th есть такая сово-
купность треугольных конечных элементов e, что 1)
∪
Ωh := e = Ω, h := max diam(e).
e∈Th
e∈Th
1)
общими у элементов могут быть либо сторона, либо вершина; e — замкнутое множество.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
