Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.4. Множество решений задачи (P
∞
). 59
Определим ступенчатую функцию
n(k) := max{i : k
0
i
< k, i = 1, 2, . . .}.
Ясно, что n(k) в точности равно числу решений (β
i
(k), u
i
(k)) задачи
(P
∞
) при фиксированном k > 0. Из приведенных выше рассуждений
и теоремы 2.10 непосредственно следует
Теорема 2.12. При каждом k > 0 существует конечное число
собственных чисел β
K
(k), 1 6 K 6 m(k), суммарной кратности
n(k), и соответствующих им собственных подпространств U
K
(k)
таких, что (β
K
(k), k, u) есть решение задачи (P
∞
) при любом u ∈
U
K
(k). Кроме того, если
0 < β
1
(k) 6 β
2
(k) 6 . . . 6 β
n(k)
(k),
есть нумерация чисел {β
K
(k)}
m(k)
K=1
с учетом кратности, то
a) n(k) → ∞ при k → ∞; β
1
(k) → 0 при k → +0;
b) функции k → β
i
(k), k > k
0
i
, — строго монотонно возрастают и
локально липшицевы, i = 1, . . . , n(k);
c) ε
1/2
∞
k < β
i
(k) < ε
1/2
+
k, k > k
0
i
, lim
k→∞
(β
i
(k)/k) = ε
1/2
+
, i = 1, . . . , n(k).
При каждом k > 0, как следует из теоремы, существует по край-
ней мере одно решение задачи (P
∞
). Число решений неограниченно
возрастает с ростом k.
Замечание 2.12. Обратим внимание, что качественное поведение основной дис-
персионной кривой p → β
1
(p) на рис. 4 отличается от поведения других кривых. В
частности, она вогнута и экспоненциально приближается к оси ординат при малых p.
Проанализируем поведение β
1
(p) при малых p. Оператор A(p) имеет вид A(p) =
A(0)+A
1
(p), где компактный оператор A
1
(p) определяется формулой (2.32). При малых
p функции
e
K
n
(Rp) имеют асимптотику (2.17). Пусть ϵ := p
2
ln(1/p), ϵ
0
:= K
0
(pR) ≈
1/ ln(1/p). Определим операторы
(A
0
u, v) := a(0, u, v) + ϵ
0
2π a
0
(u) a
0
(v),
(E(p)u, v) := p
2
∫
Ω
σuv dx + 2π
∞
∑
n=−∞, n̸=0
e
K
n
(pR) a
n
(u) a
n
(v).
Тогда задача (P) примет вид
A
0
u + E(p)u = β
2
(p)Bu.
Используя равенство Парсеваля легко показывается, что ∥E(p)∥ 6 c ϵ. Поэтому при
малых p задача на собственные значения
A
0
u = λBu,
2.4. Множество решений задачи (P∞ ).                                                 59


Определим ступенчатую функцию
                    n(k) := max{i : ki0 < k, i = 1, 2, . . .}.
Ясно, что n(k) в точности равно числу решений (βi (k), ui (k)) задачи
(P∞ ) при фиксированном k > 0. Из приведенных выше рассуждений
и теоремы 2.10 непосредственно следует
    Теорема 2.12. При каждом k > 0 существует конечное число
собственных чисел β K (k), 1 6 K 6 m(k), суммарной кратности
n(k), и соответствующих им собственных подпространств U K (k)
таких, что (β K (k), k, u) есть решение задачи (P∞ ) при любом u ∈
U K (k). Кроме того, если
                      0 < β1 (k) 6 β2 (k) 6 . . . 6 βn(k) (k),
                                           m(k)
есть нумерация чисел {β K (k)}K=1 с учетом кратности, то
a) n(k) → ∞ при k → ∞; β1 (k) → 0 при k → +0;
b) функции k → βi (k), k > ki0 , — строго монотонно возрастают и
локально липшицевы, i = 1, . . . , n(k);
    1/2             1/2                              1/2
c) ε∞ k < βi (k) < ε+ k, k > ki0 , lim (βi (k)/k) = ε+ , i = 1, . . . , n(k).
                                            k→∞
   При каждом k > 0, как следует из теоремы, существует по край-
ней мере одно решение задачи (P∞ ). Число решений неограниченно
возрастает с ростом k.
     Замечание 2.12. Обратим внимание, что качественное поведение основной дис-
персионной кривой p → β1 (p) на рис. 4 отличается от поведения других кривых. В
частности, она вогнута и экспоненциально приближается к оси ординат при малых p.
     Проанализируем поведение β1 (p) при малых p. Оператор A(p) имеет вид A(p) =
A(0)+A1 (p), где компактный оператор A1 (p) определяется формулой (2.32). При малых
p функции K  e n (Rp) имеют асимптотику (2.17). Пусть ϵ := p2 ln(1/p), ϵ0 := K0 (pR) ≈
1/ ln(1/p). Определим операторы

                        (A0 u, v) := a(0, u, v) + ϵ0 2π a0 (u) a0 (v),
                              ∫                    ∑∞
             (E(p)u, v) := p2 σuv dx + 2π                  e n (pR) an (u) an (v).
                                                           K
                               Ω                  n=−∞, n̸=0

Тогда задача (P) примет вид

                                   A0 u + E(p)u = β 2 (p)Bu.

Используя равенство Парсеваля легко показывается, что ∥E(p)∥ 6 c ϵ. Поэтому при
малых p задача на собственные значения

                                         A0 u = λBu,

Страницы