Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.4. Множество решений задачи (P
∞
). 57
при вещественном положительном z
0
= p
0
, равен в точности p
0
. Коэф-
фициенты этого ряда представляют собой симметричные, веществен-
ные и ограниченные билинейные формы на V и могут быть получены
разложением в ряд Тейлора в точке z
0
функций
e
K
n
(Rz) в определе-
нии s(z) и группировкой слагаемых.
2.4. Множество решений задачи (P
∞
).
Напомним, что задача (P
∞
) является обобщенной формулировкой
задачи нахождения пар чисел (β, k) ∈ Λ и ненулевых вещественных
u ∈ H
1
(R
2
), удовлетворяющих п.вс. в R
2
уравнению
−∆u + β
2
u = k
2
εu,
где продольное волновое число k пропорционально частоте электро-
магнитных колебаний ω, k
2
:= ε
0
µ
0
ω
2
.
Между множествами решений этой задачи и задачи (P) име-
ется взаимно-однозначная связь, определяемая теоремой 2.9: если
(β
i
(p), p, u
i
(p)) есть решение задачи (P), i > 1, то (β
i
(p), k
i
(p), u
ip
(p))
— решение задачи (P
∞
) при k
i
(p) =
(
β
2
i
(p)−p
2
)/ε
∞
)
1/2
и наоборот
1)
.
Таким образом, из теоремы 2.10, посвященной описанию множества
решений задачи (P), нетрудно получить информацию о множестве и
свойствах решений задачи (P
∞
). Дадим, предварительно, несколько
пояснений.
В задаче (P
∞
) будем считать волновое число k (или ω) парамет-
ром, а неизвестными (β, u) и будем интересоваться зависимостью ре-
шений от k. Пусть (β
i
(p), u
i
(p)), i > 1, p ∈ (0, ∞), есть решения зада-
чи (P) и k
i
(p) =
(
β
2
i
(p) − p
2
)/ε
∞
)
1/2
. Тогда решениями задачи (P
∞
)
являются тройки (β
i
(p), k
i
(p), u
ip
(p)), i > 1, p ∈ (0, ∞ ). В плоскости
(k, β) кривые
k = k
i
(p), β = β
i
(p), p ∈ (0, ∞), i = 1, 2, . . .
определяют дисперсионные кривые задачи (P
∞
), параметризованные
поперечным волновым числом p. Согласно утверждению а) теоремы
2.10, функции p → k
i
(p), p → β
i
(p) локально удовлетворяют усло-
вию Липшица, непрерывны в нуле и строго монотонно возрастают.
1)
здесь u
ip
(p) есть метагармоническое продолжение u
i
(p)
Ω
.
2.4. Множество решений задачи (P∞ ).                                         57


при вещественном положительном z0 = p0 , равен в точности p0 . Коэф-
фициенты этого ряда представляют собой симметричные, веществен-
ные и ограниченные билинейные формы на V и могут быть получены
разложением в ряд Тейлора в точке z0 функций K  e n (Rz) в определе-
нии s(z) и группировкой слагаемых. 

2.4. Множество решений задачи (P∞ ).

   Напомним, что задача (P∞ ) является обобщенной формулировкой
задачи нахождения пар чисел (β, k) ∈ Λ и ненулевых вещественных
u ∈ H 1 (R2 ), удовлетворяющих п.вс. в R2 уравнению
                                    −∆u + β 2 u = k 2 εu,
где продольное волновое число k пропорционально частоте электро-
магнитных колебаний ω, k 2 := ε0 µ0 ω 2 .
     Между множествами решений этой задачи и задачи (P) име-
ется взаимно-однозначная связь, определяемая теоремой 2.9: если
(βi (p), p, ui (p)) есть решение задачи (P), i > 1, то (βi (p), ki (p), uip (p))
                                         (               )1/2
— решение задачи (P∞ ) при ki (p) = βi2 (p) − p2 )/ε∞         и наоборот 1) .
Таким образом, из теоремы 2.10, посвященной описанию множества
решений задачи (P), нетрудно получить информацию о множестве и
свойствах решений задачи (P∞ ). Дадим, предварительно, несколько
пояснений.
     В задаче (P∞ ) будем считать волновое число k (или ω) парамет-
ром, а неизвестными (β, u) и будем интересоваться зависимостью ре-
шений от k. Пусть (βi (p), ui (p)), i > 1, p ∈ (0, ∞), есть решения зада-
                      (              )1/2
чи (P) и ki (p) = βi2 (p) − p2 )/ε∞       . Тогда решениями задачи (P∞ )
являются тройки (βi (p), ki (p), uip (p)), i > 1, p ∈ (0, ∞). В плоскости
(k, β) кривые
                  k = ki (p), β = βi (p), p ∈ (0, ∞), i = 1, 2, . . .
определяют дисперсионные кривые задачи (P∞ ), параметризованные
поперечным волновым числом p. Согласно утверждению а) теоремы
2.10, функции p → ki (p), p → βi (p) локально удовлетворяют усло-
вию Липшица, непрерывны в нуле и строго монотонно возрастают.
 1)
      здесь uip (p) есть метагармоническое продолжение ui (p) Ω .

Страницы