Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.1. Пространство конечных элементов. 61
a
1
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
g
1
2
Рис. 5. Приграничные (1) и внутренние (2) треугольники, γ есть часть ∂Ω или ∂Ω
i
.
Допускается использование элементов двух типов — элементов с тре-
мя прямолинейными сторонами (прямолинейные элементы) и элемен-
тов с двумя прямолинейными и одной криволинейной стороной (кри-
волинейные элементы). С практической точки зрения естественно ис-
пользовать криволинейные элементы только в качестве пригранич-
ных, то есть когда две вершины треугольника e лежат на ∂Ω (окруж-
ности), или на ∂Ω
i
(границе волновода) (см. рис. 5). Для упрощения
изложения будем считать, что ∂Ω
i
является липшицевой, кусочно-
гладкой кривой класса C
∞
.
2)
Рассмотрим элемент e ∈ T
h
с вершинами a
1
, a
2
и a
3
(либо криво-
линейный, либо прямолинейный). Будем считать, что две его стороны
a
1
a
2
и a
1
a
3
— прямолинейные, а третья лежит на кривой ℓ, парамет-
ризованной дуговой координатой s так, что a
2
= χ(s
2
), a
3
= χ(s
3
)
(l
e
= s
3
− s
2
— длина дуги a
2
a
3
)
1)
.
Пусть ˆe — базисный треугольник в плоскости (ˆx
1
ˆx
2
) с вершина-
ми ˆa
1
= (0, 0), ˆa
2
= (1, 0), ˆa
3
= (0, 1). Определим отображение
x = x
e
(ˆx) := a
1
+ B
e
ˆx + ˆx
1
Φ(ˆx
2
) − Φ
I
(ˆx
2
)
1 − ˆx
2
.
Здесь Φ(t) := χ(s
2
+ t(s
3
− s
2
)); Φ
I
(t) := a
2
+ t(a
3
− a
2
), 0 6 t 6 1, —
параметрическое представление хорды a
2
a
3
;
B
e
:=
(
(a
2
− a
1
)
1
(a
3
− a
1
)
1
(a
2
− a
1
)
2
(a
3
− a
1
)
2
)
.
Отображение x = x
e
(ˆx) задает преобразование ˆe на e, сохраняющее
ориентацию, причем a
i
= x
e
(ˆa
i
). Известно, что это взаимно однознач-
2)
Напомним, что Ω = B
R
⊃ Ω
i
, Ω
i
— поперечное сечение волновода.
1)
ℓ является либо кривой линией, либо — прямой, ℓ = {x ∈ R
2
: x = χ(s), s ∈ [0, L]}.
3.1. Пространство конечных элементов.                                                      61


                                     a3                             a3
                a1
                                 1        g                          2

                                     a2                  a1                     a2

 Рис. 5. Приграничные (1) и внутренние (2) треугольники, γ есть часть ∂Ω или ∂Ωi .

Допускается использование элементов двух типов — элементов с тре-
мя прямолинейными сторонами (прямолинейные элементы) и элемен-
тов с двумя прямолинейными и одной криволинейной стороной (кри-
волинейные элементы). С практической точки зрения естественно ис-
пользовать криволинейные элементы только в качестве пригранич-
ных, то есть когда две вершины треугольника e лежат на ∂Ω (окруж-
ности), или на ∂Ωi (границе волновода) (см. рис. 5). Для упрощения
изложения будем считать, что ∂Ωi является липшицевой, кусочно-
гладкой кривой класса C ∞ .2)
     Рассмотрим элемент e ∈ Th с вершинами a1 , a2 и a3 (либо криво-
линейный, либо прямолинейный). Будем считать, что две его стороны
a1 a2 и a1 a3 — прямолинейные, а третья лежит на кривой ℓ, парамет-
ризованной дуговой координатой s так, что a2 = χ(s2 ), a3 = χ(s3 )
(le = s3 − s2 — длина дуги a2 a3 )1) .
     Пусть ê — базисный треугольник в плоскости (x̂1 x̂2 ) с вершина-
ми â1 = (0, 0), â2 = (1, 0), â3 = (0, 1). Определим отображение
                                                        Φ(x̂2 ) − ΦI (x̂2 )
                     x = xe (x̂) := a1 + Be x̂ + x̂1                        .
                                                             1 − x̂2
Здесь Φ(t) := χ(s2 + t(s3 − s2 )); ΦI (t) := a2 + t(a3 − a2 ), 0 6 t 6 1, —
параметрическое представление хорды a2 a3 ;
                         (                           )
                           (a2 − a1 )1 (a3 − a1 )1
                  Be :=                                .
                           (a2 − a1 )2 (a3 − a1 )2
Отображение x = xe (x̂) задает преобразование ê на e, сохраняющее
ориентацию, причем ai = xe (âi ). Известно, что это взаимно однознач-
 2)
      Напомним, что Ω = BR ⊃ Ωi , Ωi — поперечное сечение волновода.
 1)
      ℓ является либо кривой линией, либо — прямой, ℓ = {x ∈ R2 : x = χ(s), s ∈ [0, L]}.

Страницы