Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

62 Глава 2. Скалярная задача
ное диффеоморфное отображение, если h — достаточно мало. Точнее,
если
c
−1
h
2
6 det B
e
6 c h
2
, ∥B
e
∥ 6 c h, ∥B
−1
e
∥ 6 c h, (2.35)
то
c
−1
h
2
6 det
(
Dx
e
(ˆx)
)
6 c h
2
∀ ˆx ∈ ˆe, (2.36)
∥det(Dx
e
)∥
j,∞,ˆe
6 c h
j+2
, ∥x
e
∥
j,∞,ˆe
6 c h
j
, j = 1, 2, . . . , (2.37)
где Dx
e
— матрица Якоби отображения x
e
. Здесь и далее буква c
(возможно с индексом) используется для обозначения различных по-
стоянных, не зависящих от h.
Обозначим через ˆx = x
−1
e
(x) обратное отображение к x
e
, через
b
P
m
— множество полиномов степени не выше m на ˆe, m > 0,
b
P
m
:=
{
∑
06α
1
+α
2
6m
c
α
ˆx
α
1
1
ˆx
α
2
2
, c
α
∈ R
}
, dim
b
P
m
=:
ˆ
M :=
(m + 1)(m + 2)
2
.
Введем следующее пространство функций на e:
P
e
m
:= {p : p(x) = ˆp(x
−1
e
(x)), ˆp ∈
b
P
m
, x ∈ e}, m > 1.
Если ˆφ
i
(ˆx), i = 1, . . . ,
ˆ
M, — базис Лагранжа в
b
P
m
, m > 1, связанный
с узлами интерполяции ˆω := { ˆa
i
, i = 1, . . . ,
ˆ
M}
1)
, то базис Лагранжа
в P
e
m
составляют функции φ
e
i
(x) = ˆφ
i
(x
−1
e
(x)), i = 1, . . . ,
ˆ
M. Они
связаны с с узлами интерполяции ω
e
:= {a
e
i
:= x
e
(ˆa
i
), ˆa
i
∈ ˆω} на
элементе e.
Замечание 2.13. Если ℓ — отрезок прямой (то есть все стороны e прямолиней-
ные), то x
e
(ˆx) = a
1
+ B
e
ˆx — аффинное отображение, а P
e
m
— пространство полиномов
степени не выше m. Заметим также, что для криволинейных элементов e функции из
P
e
m
не являются полиномами. Тем не менее, сужение произвольной функции из P
e
m
на
любую сторону e (в том числе криволинейную) является полиномом степени не выше
m относительно дуговой координаты этой стороны (см., напр., [33, c. 118]).
Триангуляция T
h
называется регулярной, если выполнены усло-
вия (2.36) и (2.37) для любого элемента e ∈ T
h
. Далее будем предпо-
лагать, что длины сторон элементов из T
h
имеют порядок h, а углы
треугольников отделены от нуля и π равномерно по h. Этих условий
1)
то есть ˆφ
i
∈
b
P
m
, ˆφ
i
(ˆa
j
) = δ
ij
для i, j = 1, . . . ,
ˆ
M. Предполагается, что на каждой стороне ˆe
выбрано m + 1 равномерно расположенных узла интерполяции, включая вершины элемента.
62                                                                     Глава 2. Скалярная задача


ное диффеоморфное отображение, если h — достаточно мало. Точнее,
если

          c−1 h2 6 det Be 6 c h2 ,             ∥Be ∥ 6 c h,         ∥Be−1 ∥ 6 c h,                (2.35)

то
                                    (       )
                    c−1 h2 6 det Dxe (x̂) 6 c h2 ∀ x̂ ∈ ê,                                       (2.36)
       ∥ det(Dxe )∥j,∞,ê 6 c hj+2 , ∥xe ∥j,∞,ê 6 c hj , j = 1, 2, . . . ,                       (2.37)

где Dxe — матрица Якоби отображения xe . Здесь и далее буква c
(возможно с индексом) используется для обозначения различных по-
стоянных, не зависящих от h.
    Обозначим через x̂ = x−1                                      b
                          e (x) обратное отображение к xe , через Pm
— множество полиномов степени не выше m на ê, m > 0,
          {      ∑                                   }                   (m + 1)(m + 2)
Pbm :=                      cα x̂α1 1 x̂α2 2 , cα ∈ R , dim Pbm =: M̂ :=                .
              06α1 +α2   6m
                                                                               2

Введем следующее пространство функций на e:

           Pme := {p : p(x) = p̂(x−1           b
                                  e (x)), p̂ ∈ Pm , x ∈ e},                          m > 1.

Если φ̂i (x̂), i = 1, . . . , M̂ , — базис Лагранжа в Pbm , m > 1, связанный
с узлами интерполяции ω̂ := {âi , i = 1, . . . , M̂ } 1) , то базис Лагранжа
в Pme составляют функции φei (x) = φ̂i (x−1      e (x)), i = 1, . . . , M̂ . Они
связаны с с узлами интерполяции ω := {aei := xe (âi ), âi ∈ ω̂} на
                                             e

элементе e.
     Замечание 2.13. Если ℓ — отрезок прямой (то есть все стороны e прямолиней-
                                                         e — пространство полиномов
ные), то xe (x̂) = a1 + Be x̂ — аффинное отображение, а Pm
степени не выше m. Заметим также, что для криволинейных элементов e функции из
Pme не являются полиномами. Тем не менее, сужение произвольной функции из P e на
                                                                               m
любую сторону e (в том числе криволинейную) является полиномом степени не выше
m относительно дуговой координаты этой стороны (см., напр., [33, c. 118]).

   Триангуляция Th называется регулярной, если выполнены усло-
вия (2.36) и (2.37) для любого элемента e ∈ Th . Далее будем предпо-
лагать, что длины сторон элементов из Th имеют порядок h, а углы
треугольников отделены от нуля и π равномерно по h. Этих условий
   то есть φ̂i ∈ Pbm , φ̂i (âj ) = δij для i, j = 1, . . . , M̂ . Предполагается, что на каждой стороне ê
  1)

выбрано m + 1 равномерно расположенных узла интерполяции, включая вершины элемента.

Страницы