Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Формулы численного интегрирования. 63
достаточно для выполнения (2.35), то есть для обеспечения регуляр-
ности триангуляции.
Аппроксимация V
h
пространства V определяется теперь следую-
щим образом:
V
h
:= {v
h
∈ C(Ω) : v
h
|
e
∈ P
e
m
∀e ∈ T
h
}.
Это пространство конечномерно и базис Лагранжа в нем определяет-
ся обычным способом: если ω
h
:= {a
i
, i = 1, . . . , N
h
} — сетка узлов
на Ω, образованная различными точками из
∪
{ω
e
, e ∈ T
h
}, то уз-
лу a
l
∈ ω
h
ставится в соответствие базисная функция φ
l
∈ V
h
такая,
что φ
l
(a
j
) = δ
lj
, l, j = 1, . . . , N
h
. По определению имеем:
u
h
(x) =
N
h
∑
i=1
c
i
φ
i
(x), x ∈ Ω, c
i
= u
h
(a
i
), u
h
∈ V
h
.
Введем обозначения: ˆu(ˆx) := u(x
e
(ˆx)) — образ функции u(x), опре-
деленной на e, при преобразовании координат x = x
e
(ˆx), ˆx ∈ ˆe;
|u|
2
k,h
:=
∑
e∈T
h
|u|
2
k,e
, ∥u∥
2
k,h
:=
∑
e∈T
h
∥u∥
2
k,e
, ∥u∥
k,∞,h
:= max
e∈T
h
∥u∥
k,∞,e
.
Регулярность триангуляции T
h
обеспечивает справедливость следую-
щих оценок:
|ˆu|
s,p,ˆe
6 c h
s−2/p
∥u∥
s,p,e
, |u|
s,p,e
6 c h
2/p−s
|ˆu|
s,p,ˆe
, (2.38)
∥v
h
∥
k,h
6 c h
l−k
∥v
h
∥
l,h
, 0 6 l < k, v
h
∈ V
h
, (2.39)
inf
v
h
∈V
h
∥u − v
h
∥
1,Ω
→ 0 при h → 0, u ∈ V, (2.40)
inf
v
h
∈V
h
∥u − v
h
∥
1,Ω
6 c h
k
∥u∥
k+1,h
, k = 0, . . . , m. (2.41)
Здесь s > 0, p ∈ [1, ∞]; ∥·∥
s,p,e
, |·|
s,p,e
— норма и полунорма в W
s
p
(e).
Оценка (2.39) называется в теории МКЭ обратным неравенством.
3.2. Формулы численного интегрирования.
Для приближенного вычисления интегралов по области Ω исполь-
зуем составные квадратурные формулы. Пусть m > 1 то же, что и
в определении V
h
, а
b
S — некоторая заданная квадратурная формула
3.2. Формулы численного интегрирования.                                            63


достаточно для выполнения (2.35), то есть для обеспечения регуляр-
ности триангуляции.
   Аппроксимация Vh пространства V определяется теперь следую-
щим образом:

                  Vh := {vh ∈ C(Ω) : vh |e ∈ Pme ∀ e ∈ Th }.

Это пространство конечномерно и базис Лагранжа в нем определяет-
ся обычным способом: если ωh := {ai , i = 1, . . . , Nh } — сетка узлов
                                                        ∪
на Ω, образованная различными точками из {ω e , e ∈ Th }, то уз-
лу al ∈ ωh ставится в соответствие базисная функция φl ∈ Vh такая,
что φl (aj ) = δlj , l, j = 1, . . . , Nh . По определению имеем:

                      ∑
                      Nh
          uh (x) =          ci φi (x), x ∈ Ω, ci = uh (ai ),        uh ∈ Vh .
                      i=1

Введем обозначения: û(x̂) := u(xe (x̂)) — образ функции u(x), опре-
деленной на e, при преобразовании координат x = xe (x̂), x̂ ∈ ê;
            ∑                     ∑
  |u|k,h :=
     2
               |u|k,e , ∥u∥k,h :=
                  2        2
                                    ∥u∥2k,e , ∥u∥k,∞,h := max ∥u∥k,∞,e .
                                                                       e∈Th
           e∈Th                        e∈Th

Регулярность триангуляции Th обеспечивает справедливость следую-
щих оценок:

            |û|s,p,ê 6 c hs−2/p ∥u∥s,p,e , |u|s,p,e 6 c h2/p−s |û|s,p,ê ,   (2.38)
              ∥vh ∥k,h 6 c hl−k ∥vh ∥l,h , 0 6 l < k, vh ∈ Vh ,                 (2.39)
                inf ∥u − vh ∥1,Ω → 0 при h → 0, u ∈ V,                          (2.40)
                vh ∈Vh
              inf ∥u − vh ∥1,Ω 6 c hk ∥u∥k+1,h , k = 0, . . . , m.              (2.41)
             vh ∈Vh

Здесь s > 0, p ∈ [1, ∞]; ∥·∥s,p,e , |·|s,p,e — норма и полунорма в Wps (e).
Оценка (2.39) называется в теории МКЭ обратным неравенством.

3.2. Формулы численного интегрирования.

    Для приближенного вычисления интегралов по области Ω исполь-
зуем составные квадратурные формулы. Пусть m > 1 то же, что и
в определении Vh , а Sb — некоторая заданная квадратурная формула

Страницы