Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Формулы численного интегрирования. 65
Здесь ∥A∥ означает спектральную (вторую) норму матрицы A (|Ay| 6
∥A∥|y|, y ∈ R
2
; ∥A∥ = ∥A
T
∥). Из условий на
S следует, что
ˆ
I(ˆu) :=
ˆe
|
∇ˆu|
2
+ ˆu
2
dˆx ∼
S
|
∇ˆu|
2
+ ˆu
2
=: ˆs(ˆu) на
P
m
,
1)
поскольку, как нетрудно видеть, как
ˆ
I
1/2
, так и ˆs
1/2
есть нормы на
P
m
. Докажем, что
I(u
h
) :=
e
h
2
|∇u
h
|
2
+ u
2
h
dx ∼ S
e
h
2
|∇u
h
|
2
+ u
2
h
=: S(u
h
) (2.45)
на P
e
m
. Используя оценку |y| 6 ∥A∥|A
−1
y|, y ∈ R
2
, а также оценки
(2.44), имеем:
I(u
h
) =
ˆe
|J
e
|
h
2
|J
−T
e
∇ˆu|
2
+ ˆu
2
dˆx 6 c h
2
ˆ
I(ˆu) 6 c h
2
ˆs(ˆu) 6
6 c
h
2
min |J
e
|
S
e
∥J
T
∥
2
|J
−T
∇u
h
|
2
+ u
2
h
6 c S(u
h
).
Такие же рассуждения приводят к обратному неравенству S(u
h
) 6
c I(u
h
), что доказывает (2.45). Аналогично доказывается, что также
e
|∇u
h
|
2
dx ∼ S
e
|∇u
h
|
2
на P
e
m
. (2.46)
Из (2.45) и (2.46) имеем:
e
(1 + h
2
)|∇u
h
|
2
+ u
2
h
dx ∼ S
e
(1 + h
2
)|∇u
h
|
2
+ u
2
h
.
Отсюда, после суммирования по всем e ∈ T
h
, следуют оценки (2.42).
Функционал
S
1/2
ˆu
2
определяет полунорму на
P
m
, а
ˆe
ˆu
2
dˆx
1/2
— норму. Поэтому, как и ранее, имеем:
S
e
(u
2
h
) 6 c h
2
S(ˆu
2
) 6 c h
2
ˆe
ˆu
2
dˆx 6 c
h
2
min |J
e
|
e
u
2
h
dx 6 c
e
u
2
h
dx.
1)
f(u) ∼ g(u) на U , если c
1
f(u) 6 g(u) 6 c
2
g(u) для ∀u ∈ U , c
1
, c
2
не зависят от h и u, c
1
> 0.
3.2. Формулы численного интегрирования.                                                                 65


Здесь ∥A∥ означает спектральную (вторую) норму матрицы A (|Ay| 6
∥A∥ |y|, y ∈ R2 ; ∥A∥ = ∥AT ∥). Из условий на Sb следует, что
            ∫ (              )       (           )
   ˆ
   I(û) :=      |∇û| + û dx̂ ∼ S |∇û| + û =: ŝ(û) на Pbm , 1)
                  b   2    2       b   b 2     2

                     ê

поскольку, как нетрудно видеть, как Iˆ1/2 , так и ŝ1/2 есть нормы на
Pbm . Докажем, что
            ∫
              ( 2             )       (                )
  I(uh ) :=    h |∇uh |2 + u2h dx ∼ Se h2 |∇uh |2 + u2h =: S(uh ) (2.45)
                 e

на Pme . Используя оценку |y| 6 ∥A∥ |A−1 y|, y ∈ R2 , а также оценки
(2.44), имеем:
           ∫    (                 )
                   2 −T b 2
  I(uh ) = |Je | h |Je ∇û| + û dx̂ 6 c h2 I(û)
                                2            ˆ 6 c h2 ŝ(û) 6
                ê
                                     h2        (                          )
                                6c           Se ∥J T ∥2 |J −T ∇uh |2 + u2h 6 c S(uh ).
                                   min |Je |
Такие же рассуждения приводят к обратному неравенству S(uh ) 6
c I(uh ), что доказывает (2.45). Аналогично доказывается, что также
                   ∫
                                    (        )
                     |∇uh |2 dx ∼ Se |∇uh |2   на Pme .        (2.46)
                            e

Из (2.45) и (2.46) имеем:
       ∫
          (                      )       (                      )
           (1 + h2 )|∇uh |2 + u2h dx ∼ Se (1 + h2 )|∇uh |2 + u2h .
            e

Отсюда, после суммирования по всем e ∈ Th , следуют оценки (2.42).
                   ( )                                  ( ∫ 2 )1/2
   Функционал Sb1/2 û2 определяет полунорму на Pbm , а    û dx̂
                                                                                           ê
— норму. Поэтому, как и ранее, имеем:
                               ∫                      ∫          ∫
               2b 2                           h2
 Se (uh ) 6 c h S(û ) 6 c h
      2                      2
                                 û dx̂ 6 c
                                   2
                                                        uh dx 6 c u2h dx.
                                                         2
                                            min |Je |
                                          ê                             e                  e
 1)
      f (u) ∼ g(u) на U , если c1 f (u) 6 g(u) 6 c2 g(u) для ∀ u ∈ U , c1 , c2 не зависят от h и u, c1 > 0.

Страницы