Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

66 Глава 2. Скалярная задача
Суммируя эти оценки по всем e ∈ T
h
, придем к (2.43).
Следствие 2.6. S
h
(
|∇u
h
|
2
)
∼ |u
h
|
2
1,Ω
,
S
e
(
|∇u
h
|
2
+ u
2
h
)
∼
∫
e
(
|∇u
h
|
2
+ u
2
h
)
dx.
3.3. Дискретная задача. Свойства решений.
Определим билинейные формы a
0h
, b
h
, s
N
, являющиеся аппрокси-
мациями на V
h
×V
h
форм a
0
, b и s
∞
соответственно. Для этого заме-
ним интегралы по области Ω в определении форм a
0
и b на составную
квадратуру S
h
, бесконечный ряд в определении s
∞
— конечным. В
итоге получим:
a
0h
(p, u, v) := S
h
(∇u · ∇v + p
2
σ uv), σ := ε/ε
∞
,
b
h
(u, v) := S
h
((σ − 1) uv),
s
N
(p, u, v) := 2π
N
∑
n=−N
K
n
(pR)a
n
(u)a
n
(v).
Здесь u, v ∈ V
h
, N > 0. Предполагается, что коэффициенты Фу-
рье функций u и v вычисляются точно. Последнее нетрудно вы-
полнить аналитически, так как u и v на Γ являются кусочно-
полиномиальными (степени m) функциями относительно угловой ко-
ординаты φ.
Отметим, что при аппроксимации формы s
∞
возникает дополни-
тельный параметр N. Далее будем считать, что N = N(h), поэтому
введем обозначение
a
h
(p, u, v) := a
0h
(p, u, v) + s
N
(p, u, v).
Рассмотрим конечномерную задачу: при каждом p ∈ R
+
найти
числа β
h
∈ R
+
и ненулевые u
h
∈ V
h
такие, что
1)
(P
h
) a
h
(p, u
h
, v) = β
h2
b
h
(u
h
, v) ∀v ∈ V
h
.
1)
числа β
h
, как и β
h2
, мы далее будем называть собственными числами.
66                                                              Глава 2. Скалярная задача


Суммируя эти оценки по всем e ∈ Th , придем к (2.43). 
                       (      )
   Следствие 2.6. Sh |∇uh |2 ∼ |uh |21,Ω ,
                                ∫
               (            )     (              )
             Se |∇uh | + uh ∼
                      2   2
                                    |∇uh |2 + u2h dx.
                                                e



3.3. Дискретная задача. Свойства решений.

   Определим билинейные формы a0h , bh , sN , являющиеся аппрокси-
мациями на Vh × Vh форм a0 , b и s∞ соответственно. Для этого заме-
ним интегралы по области Ω в определении форм a0 и b на составную
квадратуру Sh , бесконечный ряд в определении s∞ — конечным. В
итоге получим:

                a0h (p, u, v) := Sh (∇u · ∇v + p2 σ uv), σ := ε/ε∞ ,

                               bh (u, v) := Sh ((σ − 1) uv),
                                             ∑
                                             N
                     sN (p, u, v) := 2π             Kn (pR)an (u)an (v).
                                           n=−N
Здесь u, v ∈ Vh , N > 0. Предполагается, что коэффициенты Фу-
рье функций u и v вычисляются точно. Последнее нетрудно вы-
полнить аналитически, так как u и v на Γ являются кусочно-
полиномиальными (степени m) функциями относительно угловой ко-
ординаты φ.
   Отметим, что при аппроксимации формы s∞ возникает дополни-
тельный параметр N . Далее будем считать, что N = N (h), поэтому
введем обозначение

                        ah (p, u, v) := a0h (p, u, v) + sN (p, u, v).

   Рассмотрим конечномерную задачу: при каждом p ∈ R+ найти
числа β h ∈ R+ и ненулевые uh ∈ Vh такие, что 1)

                  (Ph )       ah (p, uh , v) = β h2 bh (uh , v) ∀ v ∈ Vh .
 1)
      числа β h , как и β h2 , мы далее будем называть собственными числами.

Страницы